Όριο

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\gamma$ η σταθερά των Euler - Mascheroni και $\mathcal{H}_n$ ο

-οστός αρμονικός όρος. Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n\rightarrow +\infty} \left [ e^{\mathcal{H}_n-\gamma} - n \right ]}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 17, 2018 8:02 pm
Έστω $\gamma$ η σταθερά των Euler - Mascheroni και $\mathcal{H}_n$ ο -οστός αρμονικός όρος. Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n\rightarrow +\infty} \left [ e^{\mathcal{H}_n-\gamma} - n \right ]}$

Απάντηση: $\dfrac {1}{2}$ .

Είναι γνωστό ότι $\displaystyle{ \mathcal{H}_n= \ln n + \gamma + \frac {1}{2n} +O(n^{-2})}$ .

Bλέπε π.χ. εδώ όπου υπάρχει και ισχυρότερη σχέση.

Άρα

$\displaystyle{ e^{\mathcal{H}_n-\gamma} - n = e^{\ln n + \frac {1}{2n} +O(n^{-2}) } - n= n\left ( e^{\frac {1}{2n} +O(n^{-2}) } -1\right )= }$

$\displaystyle{=n\left ( 1+ \frac {1}{2n} +O(n^{-2}) -1\right ) = \frac {1}{2} +O(n^{-1})\to \frac {1}{2}}$

Tolaso J Kos · #3

Παρόμοια λύση....

Επειδή $\displaystyle{ \gamma = \sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac{1}{n} - \ln \left ( 1 + \frac{1}{n} \right ) \right ]}$ είναι

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{H}_n-\gamma&=\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac{1}{k} \right)+ \\ & \; \quad \quad \quad +\sum_{k=n+1}^{\infty}\left[\ln\left(1+\frac{1}{k} \right)-\frac{1}{k} \right]\\ &=\ln(n+1)+\sum_{k=n+1}^{\infty}\left[\ln\left(1+\frac{1}{k} \right)-\frac{1}{k} \right]\\ &=\ln(n+1)-\frac{1}{2n}+\mathcal{O} \left( \frac{1}{n^2} \right) \end{aligned}}$
Οπότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} e^{\mathcal{H}_n-\gamma}-n&=e^{\ln(n+1)-\frac{1}{2n}+\mathcal{O}(n^{-2})}-n\\ &=(n+1)e^{-\frac{1}{2n}+\mathcal{O}(n^{-2})}-n\\ &=(n+1)\left(1-\frac{1}{2n}+\mathcal{O} \left( \frac{1}{n^2} \right) \right)-n\\ &=n+\frac{1}{2}+\mathcal{O} \left( \frac{1}{n} \right) -n \\ &=\frac{1}{2} + \mathcal{O} \left( \frac{1}{n} \right) \end{aligned}}$
Το ζητούμενο έπεται.

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση