αύξουσα και συνεχής

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Chatzibill
Δημοσιεύσεις: 34
Εγγραφή: Παρ Οκτ 05, 2018 4:53 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

αύξουσα και συνεχής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Chatzibill » Κυρ Δεκ 16, 2018 3:31 pm

Να αποδειχτεί ότι κάθε συνεχής και αύξουσα συνάρτηση \huge f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, τέμνει την ευθεία \huge y=-x, x\in \mathbb{R} σε ένα ακριβώς σημείο.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12619
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: αύξουσα και συνεχής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 16, 2018 5:22 pm

Chatzibill έγραψε:
Κυρ Δεκ 16, 2018 3:31 pm
Να αποδειχτεί ότι κάθε συνεχής και αύξουσα συνάρτηση \huge f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, τέμνει την ευθεία \huge y=-x, x\in \mathbb{R} σε ένα ακριβώς σημείο.
Η συνάρτηση f(x)+x είναι γνήσια αύξουσα ως άθροισμα μιας αύξουσα και μιας γνήσια αύξουσας (*). Άρα η ισοδύναμη εξίσωση f(x)=-x έχει το πολύ μία ρίζα. Θα δείξουμε ότι, επίσης, έχει τουλάχιστον μία ρίζα, οπότε τελειώσαμε.

Αν f(0)=0, τότε δεν έχουμε τίποτα να απoδείξουμε αφού γράφεται f(0)=-0. Οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι f(0)>0 (η περίπτωση f(0)<0 όμοια). Για τον αρνητικό αριθμό -f(0) ισχύει από την υπόθεση ότι f(-f(0)) < f(0) άρα f(-f(0))+(-f(0)) <0 . Από Bolzano στο [-f(0), 0] στην συνεχή f(x)+x έπεται το ζητούμενο.

(*). Στη αρχή είχα γράψει εκ παραδρομής ότι και οι δύο συναρτήσεις είναι γνήσια αύξουσες. Η f αρκεί να είναι (απλά) αύξουσα, όπως στην υπόθεση, οπότε έκανα διορθωσούλα.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Κυρ Δεκ 16, 2018 7:02 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1856
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: αύξουσα και συνεχής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Δεκ 16, 2018 5:47 pm

Η συνάρτηση f ως γνησίως αύξουσα και συνεχής θα έχει σύνολο τιμών f(\mathb R)=\left(\lim_{{x \rightarrow -\infty}}f(x),\lim_{{x \rightarrow +\infty}}f(x)\right), προφανώς (αφού ορίζεται διάστημα)  \lim_{{x }\rightarrow -\infty}f(x)<\lim_{{x }\rightarrow +\infty}f(x) .

Αν  \lim_{{x }\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty} τότε και  \lim_{{x }\rightarrow +\infty}f(x)= +\infty} που σημαίνει  \lim_{{x }\rightarrow -\infty}f(x)= \lim_{{x }\rightarrow +\infty}f(x) , άτοπο.

Άρα  \lim_{{x }\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty ~~ \eta' ~~ a ,~a \in \mathb R, παρόμοια  \lim_{{x }\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty ~~ \eta' ~~ b ,~b \in \mathb R

θεωρούμε g(x)=f(x)+x, x\in \mathb R η g είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής, άρα λαμβάνοντας υπόψιν τα παραπάνω έχει σύνολο τιμών :

g(\mathb R)=\left(\lim_{{x \rightarrow -\infty}}g(x),\lim_{{x \rightarrow +\infty}}g(x)\right)=\mathb R

Από τον ορισμό του συνόλου τιμών, 0 \in g(\mathb R) \Rightarrow υπάρχει x_0 \in \mathb R τέτοιος ώστε g(x_0)=0.

Η g ως γνησίως μονότονη θα είναι και 1-1 συνάρτηση , άρα x_0 μοναδικός αριθμός.

Υ.Γ: Η παραπάνω λύση έχει σφάλμα καθώς θεωρείτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα αντί για αύξουσα συνάρτηση. Μετά από την παρατήρηση του Σταύρου Παπαδόπουλου σε επόμενο ποστ έχει γραφεί αναλυτική λύση στα δεδομένα της άσκησης.
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Κυρ Δεκ 16, 2018 6:52 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: αύξουσα και συνεχής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Δεκ 16, 2018 6:12 pm

Κάποιες παρατηρήσεις στις λύσεις.

Η συνάρτηση έχει δοθεί απλά αύξουσα.

Το ότι και στις δύο λύσεις έχει θεωρηθεί ότι είναι γνησίως αύξουσα δεν παίζει ρόλο

γιατί η f(x)+x είναι γνησίως αύξουσα.

Η λύση του Μιχάλη μας δίνει πληροφορίες για το που βρίσκεται το x_{0}.

Βρίσκεται στο κλειστό διάστημα με άκρα τα f(0),-f(0)

Στην λύση του Χρήστου μπορούμε να μην χρησιμοποιήσουμε το βαρύ για σχολικά μαθηματικά

αύξουσα συνάρτηση συνεχής έχει όριο.

Θέτοντας όπως ο Χρήστος g(x)=f(x)+x

για x>0 είναι g(x)=f(x)+x\geq f(0)+x

Αφού \lim_{x\rightarrow \infty }f(0)+x=\infty

και \lim_{x\rightarrow \infty }g(x)=\infty

Με όμοιο τρόπο προκύπτει και ότι \lim_{x\rightarrow -\infty }g(x)=-\infty


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2240
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: αύξουσα και συνεχής

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Κυρ Δεκ 16, 2018 6:47 pm

εστω \displaystyle{g(x)=f(x)+x} Η \displaystyle{g} είναι αύξουσα και συνεχή αρα 1-1 δηλαδή αντιστρέψιμη στο σύνολο τιμών της \displaystyle{f(x)+x}

Επειδή f αύξουσα και συνεχής το σύνολο τιμών της θα είναι κάποιο διαστημα Ι με πεπερασμένα η όχι άκρα τότε η \displaystyle{f(x)+x } θα έχει σύνολο τιμών το \displaystyle{R} kai το ίδιο θα συμβαίνει στην 2η περίπτωση διότι είναι αύξουσα

ΧΒΓ ας είναι \displaystyle{g^{-1}(0)>0} τότε \displaystyle{0=g(g^{-1}(0))=f(g^{-1}(0))+g^{-1}(0)} ή \displaystyle{f(g^{-1}(0))=-g^{-1}(0)<0}

Από θ.Β για την \displaystyle{g} στο \displaystyle{[0,g^{-1}(0)]} η \displaystyle{g} έχει ρίζα μοναδική λόγω μονοτονίας
τελευταία επεξεργασία από R BORIS σε Δευ Δεκ 17, 2018 10:13 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1856
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: αύξουσα και συνεχής

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Δεκ 16, 2018 6:49 pm

Σταύρο ευχαριστώ πολύ για τις παρατηρήσεις σου, πραγματικά "διάβασα" γνησίως αύξουσα και όχι αύξουσα συνάρτηση.

Λαμβάνοντας υπόψιν τις παρατηρήσεις σου ολοκληρωμένη λοιπόν λύση θα είναι:

Θεωρούμε g(x)=f(x)+x, x\in \mathb R η g είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής.

Πράγματι, γνησίως αύξουσα γιατί x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2)\Rightarrow f(x_1)+x_1< f(x_2)+x_2\Rightarrow g(x_1)<g(x_2) για κάθε x_1,x_2 \in \mathb R και συνεχής γιατί είναι άθροισμα συνεχών συναρτήσεων.

για x>0 είναι g(x)=f(x)+x\geq f(0)+x

Αφού \lim_{x\rightarrow +\infty }f(0)+x=+\infty συνεπώς \lim_{x\rightarrow +\infty }g(x)=+\infty

Με όμοιο τρόπο προκύπτει και ότι \lim_{x\rightarrow -\infty }g(x)=-\infty

Άρα g(\mathb R)=\left(\lim_{{x \rightarrow -\infty}}g(x),\lim_{{x \rightarrow +\infty}}g(x)\right)=\mathb R

Από τον ορισμό του συνόλου τιμών, 0 \in g(\mathb R) \Rightarrow υπάρχει x_0 \in \mathb R τέτοιος ώστε g(x_0)=0.

Η g ως γνησίως μονότονη θα είναι και 1-1 συνάρτηση , άρα x_0 μοναδικός αριθμός.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1856
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: αύξουσα και συνεχής

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Δεκ 16, 2018 7:01 pm

R BORIS έγραψε:
Κυρ Δεκ 16, 2018 6:47 pm

Επειδή f αύξουσα και συνεχής το σύνολο τιμών της θα είναι κάποιο διαστημα Ι με πεπερασμένα η όχι άκρα ....
από το παραπάνω , με το λίγο που το επεξεργάστηκα κοιτάζοντας πριν αυτό:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Δεκ 16, 2018 6:12 pm
... να μην χρησιμοποιήσουμε το βαρύ για σχολικά μαθηματικά

αύξουσα συνάρτηση συνεχής έχει όριο. ...
Νομίζω ότι είναι αρκετά προκλητικό να αποδείξουμε ότι :
Αν f άυξουσα και συνεχής συνάρτηση στο \mathb R τότε τα όρια \lim_{{x }\rightarrow \pm\infty}f(x) υπάρχουν.

Μόνο με χρήση σχολικών μαθηματικών


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12619
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: αύξουσα και συνεχής

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 16, 2018 7:11 pm

Christos.N έγραψε:
Κυρ Δεκ 16, 2018 7:01 pm
Νομίζω ότι είναι αρκετά προκλητικό να αποδείξουμε ότι :
Αν f άυξουσα και συνεχής συνάρτηση στο \mathb R τότε τα όρια \lim_{{x }\rightarrow \pm\infty}f(x) υπάρχουν.

Μόνο με χρήση σχολικών μαθηματικών
Το παραπάνω είναι ισοδύναμο με το Αξίωμα Πληρότητας για άμεσο λόγο. Οπότε για Σχολικά Μαθηματικά μπαίνουμε σε δύσκολα χωράφια (γι' αυτό άλλωστε ο Σταύρος μίλησε για "βαρύ για σχολικά μαθηματικά εργαλείο")


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες