αύξουσα και συνεχής

Chatzibill · #1

Να αποδειχτεί ότι κάθε συνεχής και αύξουσα συνάρτηση $\huge f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , τέμνει την ευθεία $\huge y=-x, x\in \mathbb{R}$ σε ένα ακριβώς σημείο.

#2

Chatzibill έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 16, 2018 3:31 pm
Να αποδειχτεί ότι κάθε συνεχής και αύξουσα συνάρτηση $\huge f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , τέμνει την ευθεία $\huge y=-x, x\in \mathbb{R}$ σε ένα ακριβώς σημείο.

Η συνάρτηση f(x)+x

είναι γνήσια αύξουσα ως άθροισμα μιας αύξουσα και μιας γνήσια αύξουσας (*). Άρα η ισοδύναμη εξίσωση f(x)=-x

έχει το πολύ μία ρίζα. Θα δείξουμε ότι, επίσης, έχει τουλάχιστον μία ρίζα, οπότε τελειώσαμε.

Αν f(0)=0

, τότε δεν έχουμε τίποτα να απoδείξουμε αφού γράφεται f(0)=-0

. Οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι f(0)>0

(η περίπτωση f(0)<0

όμοια). Για τον αρνητικό αριθμό -f(0)

ισχύει από την υπόθεση ότι f(-f(0)) < f(0)

άρα

. Από Bolzano στο [-f(0), 0]

στην συνεχή f(x)+x

έπεται το ζητούμενο.

(*). Στη αρχή είχα γράψει εκ παραδρομής ότι και οι δύο συναρτήσεις είναι γνήσια αύξουσες. Η

αρκεί να είναι (απλά) αύξουσα, όπως στην υπόθεση, οπότε έκανα διορθωσούλα.

Christos.N · #3

Η συνάρτηση

ως γνησίως αύξουσα και συνεχής θα έχει σύνολο τιμών $f(\mathb R)=\left(\lim_{{x \rightarrow -\infty}}f(x),\lim_{{x \rightarrow +\infty}}f(x)\right)$ , προφανώς (αφού ορίζεται διάστημα) $\lim_{{x }\rightarrow -\infty}f(x)<\lim_{{x }\rightarrow +\infty}f(x)$ .

Αν $\lim_{{x }\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty}$ τότε και $\lim_{{x }\rightarrow +\infty}f(x)= +\infty}$ που σημαίνει $\lim_{{x }\rightarrow -\infty}f(x)= \lim_{{x }\rightarrow +\infty}f(x)$ , άτοπο.

Άρα $\lim_{{x }\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty ~~ \eta' ~~ a ,~a \in \mathb R$ , παρόμοια $\lim_{{x }\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty ~~ \eta' ~~ b ,~b \in \mathb R$

θεωρούμε $g(x)=f(x)+x, x\in \mathb R$ η

είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής, άρα λαμβάνοντας υπόψιν τα παραπάνω έχει σύνολο τιμών :

$g(\mathb R)=\left(\lim_{{x \rightarrow -\infty}}g(x),\lim_{{x \rightarrow +\infty}}g(x)\right)=\mathb R$

Από τον ορισμό του συνόλου τιμών, $0 \in g(\mathb R) \Rightarrow$ υπάρχει $x_0 \in \mathb R$ τέτοιος ώστε g(x_0)=0

.

Η

ως γνησίως μονότονη θα είναι και 1-1

συνάρτηση , άρα x_0

μοναδικός αριθμός.

Υ.Γ: Η παραπάνω λύση έχει σφάλμα καθώς θεωρείτε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα αντί για αύξουσα συνάρτηση. Μετά από την παρατήρηση του Σταύρου Παπαδόπουλου σε επόμενο ποστ έχει γραφεί αναλυτική λύση στα δεδομένα της άσκησης.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Κάποιες παρατηρήσεις στις λύσεις.

Η συνάρτηση έχει δοθεί απλά αύξουσα.

Το ότι και στις δύο λύσεις έχει θεωρηθεί ότι είναι γνησίως αύξουσα δεν παίζει ρόλο

γιατί η f(x)+x

είναι γνησίως αύξουσα.

Η λύση του Μιχάλη μας δίνει πληροφορίες για το που βρίσκεται το $x_{0}$ .

Βρίσκεται στο κλειστό διάστημα με άκρα τα f(0),-f(0)

Στην λύση του Χρήστου μπορούμε να μην χρησιμοποιήσουμε το βαρύ για σχολικά μαθηματικά

αύξουσα συνάρτηση συνεχής έχει όριο.

Θέτοντας όπως ο Χρήστος g(x)=f(x)+x

για

είναι $g(x)=f(x)+x\geq f(0)+x$

Αφού $\lim_{x\rightarrow \infty }f(0)+x=\infty$

και $\lim_{x\rightarrow \infty }g(x)=\infty$

Με όμοιο τρόπο προκύπτει και ότι $\lim_{x\rightarrow -\infty }g(x)=-\infty$

#5

εστω $\displaystyle{g(x)=f(x)+x}$ Η $\displaystyle{g}$ είναι αύξουσα και συνεχή αρα 1-1 δηλαδή αντιστρέψιμη στο σύνολο τιμών της $\displaystyle{f(x)+x}$

Επειδή f αύξουσα και συνεχής το σύνολο τιμών της θα είναι κάποιο διαστημα Ι με πεπερασμένα η όχι άκρα τότε η $\displaystyle{f(x)+x }$ θα έχει σύνολο τιμών το $\displaystyle{R}$ kai το ίδιο θα συμβαίνει στην 2η περίπτωση διότι είναι αύξουσα

ΧΒΓ ας είναι $\displaystyle{g^{-1}(0)>0}$ τότε $\displaystyle{0=g(g^{-1}(0))=f(g^{-1}(0))+g^{-1}(0)}$ ή $\displaystyle{f(g^{-1}(0))=-g^{-1}(0)<0}$

Από θ.Β για την $\displaystyle{g}$ στο $\displaystyle{[0,g^{-1}(0)]}$ η $\displaystyle{g}$ έχει ρίζα μοναδική λόγω μονοτονίας

Christos.N · #6

Σταύρο ευχαριστώ πολύ για τις παρατηρήσεις σου, πραγματικά "διάβασα" γνησίως αύξουσα και όχι αύξουσα συνάρτηση.

Λαμβάνοντας υπόψιν τις παρατηρήσεις σου ολοκληρωμένη λοιπόν λύση θα είναι:

Θεωρούμε $g(x)=f(x)+x, x\in \mathb R$ η

είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής.

Πράγματι, γνησίως αύξουσα γιατί $x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2)\Rightarrow f(x_1)+x_1< f(x_2)+x_2\Rightarrow g(x_1)<g(x_2)$ για κάθε $x_1,x_2 \in \mathb R$ και συνεχής γιατί είναι άθροισμα συνεχών συναρτήσεων.

για x>0

είναι $g(x)=f(x)+x\geq f(0)+x$

Αφού $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(0)+x=+\infty$ συνεπώς $\lim_{x\rightarrow +\infty }g(x)=+\infty$

Με όμοιο τρόπο προκύπτει και ότι $\lim_{x\rightarrow -\infty }g(x)=-\infty$

Άρα $g(\mathb R)=\left(\lim_{{x \rightarrow -\infty}}g(x),\lim_{{x \rightarrow +\infty}}g(x)\right)=\mathb R$

Από τον ορισμό του συνόλου τιμών, $0 \in g(\mathb R) \Rightarrow$ υπάρχει $x_0 \in \mathb R$ τέτοιος ώστε g(x_0)=0

.

Η

ως γνησίως μονότονη θα είναι και 1-1

συνάρτηση , άρα x_0

μοναδικός αριθμός.

Christos.N · #7

R BORIS έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 16, 2018 6:47 pm

Επειδή f αύξουσα και συνεχής το σύνολο τιμών της θα είναι κάποιο διαστημα Ι με πεπερασμένα η όχι άκρα ....

από το παραπάνω , με το λίγο που το επεξεργάστηκα κοιτάζοντας πριν αυτό:

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 16, 2018 6:12 pm
... να μην χρησιμοποιήσουμε το βαρύ για σχολικά μαθηματικά

αύξουσα συνάρτηση συνεχής έχει όριο. ...

Νομίζω ότι είναι αρκετά προκλητικό να αποδείξουμε ότι :

Αν άυξουσα και συνεχής συνάρτηση στο $\mathb R$ τότε τα όρια $\lim_{{x }\rightarrow \pm\infty}f(x)$ υπάρχουν.

Μόνο με χρήση σχολικών μαθηματικών

#8

Christos.N έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 16, 2018 7:01 pm
Νομίζω ότι είναι αρκετά προκλητικό να αποδείξουμε ότι :

Αν άυξουσα και συνεχής συνάρτηση στο $\mathb R$ τότε τα όρια $\lim_{{x }\rightarrow \pm\infty}f(x)$ υπάρχουν.

Μόνο με χρήση σχολικών μαθηματικών

Το παραπάνω είναι ισοδύναμο με το Αξίωμα Πληρότητας για άμεσο λόγο. Οπότε για Σχολικά Μαθηματικά μπαίνουμε σε δύσκολα χωράφια (γι' αυτό άλλωστε ο Σταύρος μίλησε για "βαρύ για σχολικά μαθηματικά εργαλείο")

αύξουσα και συνεχής

αύξουσα και συνεχής

Re: αύξουσα και συνεχής

Re: αύξουσα και συνεχής

Re: αύξουσα και συνεχής

Re: αύξουσα και συνεχής

Re: αύξουσα και συνεχής

Re: αύξουσα και συνεχής

Re: αύξουσα και συνεχής

Μέλη σε σύνδεση