Ενδιαφέρον τριγωνομετρικό

Chatzibill · #1

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\large \displaystyle\int \frac{169sinx}{5sinx+12cosx}dx$

#2

Μια τυπική επίλυση:
$\begin{aligned} I&=\int\frac{169\sin{x}}{5\sin{x}+12\cos{x}}\,dx\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\int\frac{169\tan{x}}{5\tan{x}+12}\,dx\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &\mathop{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=}\limits^{\begin{subarray}{c} {t\,=\,\tan{x}} \\\noalign{\vspace{0.05cm}} {\frac{1}{1+t^2}\,dt\,=\,dx} \\\noalign{\vspace{0.05cm}} \end{subarray}}\,\int\frac{169\,t}{(5t+12)(1+t^2)}\,dt\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\int\frac{12\,t+5}{1+t^2}\,dt-\int\frac{60}{5t+12}\,dt\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=6\int\frac{2\,t}{1+t^2}\,dt+5\int\frac{1}{1+t^2}\,dt-\int\frac{60}{5t+12}\,dt\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=6\log(1+t^2)+5\arctan{t}-12\log(5t+12)+c\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &\stackrel{t\,=\,\tan{x}}{=\!=\!=\!=\!=}6\log(1+\tan^2{x})+5x-12\log(5\tan{x}+12)+c\,. \end{aligned}$

#3

Chatzibill έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 16, 2018 7:15 am
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\large \int \frac{169sinx}{5sinx + 12cosx}dx$

Ενας ωραίος τρόπος, παλιός και γνωστός για όλα τα ολοκληρώματα της μορφής $\displaystyle{\int \dfrac {a\sin x + b \cos x}{c\sin x + d\cos x}\,dx}$ , είναι ο εξής:

Εκφράζουμε τον αριθμητή ως γραμμικό συνδυασμό του παρονομαστή και της παραγώγου του παρονομαστή. Εδώ

$\displaystyle{169 \sin x = A(5\sin x + 12 \cos x) + B(5\cos x -12 \sin x) }$ .

Συγκρίνοντας συντελεστές είναι $169=5A-12B, \, 0=12A+5B$ , οπότε $A=5, \, B=-12$ . Άρα

$\displaystyle{ \int \dfrac{169\sin x}{5\ sinx + 12 cos\x}\, dx = \int \dfrac{ 5(5\sin x + 12 \cos x) -12(5\cos x -12 \sin x)}{5\sin x + 12 \cos x}\,dx }$

Το ολοκλήρωμα είναι της μορφής $\displaystyle{\int \dfrac {Af(x)+Bf'(x)}{f(x)}\,dx = \int \left (A+ B\dfrac {f'(x)}{f(x)}\right ) \,dx = Ax + \ln |f(x)| + c}$ . Εδώ το παραπάνω (επαναλαμβάνω ένα βήμα) είναι

$\displaystyle{= \int \left ( 5 + \dfrac{ -12(5\cos x -12 \sin x)}{5\sin x + 12 \cos x} \right )\, dx = 5x -12 \int \dfrac{(5\sin x + 12 \cos x)'}{5\sin x + 12 \cos x}\,dx =5x + \ln | 5\sin x + 12 \cos x|+c }}$

Ενδιαφέρον τριγωνομετρικό

Ενδιαφέρον τριγωνομετρικό

Re: Ενδιαφέρον τριγωνομετρικό

Re: Ενδιαφέρον τριγωνομετρικό

Μέλη σε σύνδεση