Ορισμός ακέραιου μέρους

[mathxl]

Σε κάποια ανταλλαγή προσωπικών μηνυμάτων παλαιότερα με τον Χρήστο Κυριαζή αλλά κα πρόσφατα με τον Σπύρο Καπελλίδη, προέκυψαν διαφορετικές απόψεις περί ορισμού ακεραίου και κλασματικού μέρους, ειδικότερα για αρνητικούς αριθμούς. Στους ορισμούς αυτούς εμπλέκονται και το ακέραιο μέρος "πάτωμα" και "οροφή".

Τελικά υπάρχει ένας συγκεκριμένος ορισμός ή ισχύει ότι μας βολεύει κατά περίσταση (πχ ανάλογα με το κράτος που διδασκόμαστε μαθηματικά)

Ευχαριστώ εκ των προτέρων. Πρόκειται μάλλον για κενό στο γνωστικό μου

Δείτε εδώ http://mathworld.wolfram.com/FractionalPart.html και εδώ http://mathworld.wolfram.com/IntegerPart.html καθώς και εδώ http://en.wikipedia.org/wiki/Floor_and_ ... s#Examples

[s.kap]

Αγαπητέ Βασίλη. Σε συνέχεια της προσωπικής επικοινωνίας μας έχω να σου πω τα εξής:
1. Όσον αφορά το ακέραιο μέρος είναι νομίζω καθιερωμένο (σε όλα τα βιβλία και Άλγεβρας και Ανάλυσης αυτό συναντάς) να θεωρούμε για μεν τους ακέραιους τον ίδιο τον αριθμό και για τους υπόλοιπους τον μικρότερο από τους δύο διαδοχικούς ακέραιους ανάμεσα στους οποίους βρίσκεται.
2. Για το δεκαδικό ή κλασματικό μέρος, πράγματι οι Εγκυκλοπαίδειες αναφέρουν δύο όρισμούς, δηλαδή πέραν του συνήθους :{x}=x-[x] και αυτόν που ,όπου γίνεται χωρισμός για τον ορισμό του δεκαδικού μέρους των αριθμών, σε θετικούς και αρνητικούς. Λέω συνήθους γιατί όσα βιβλία έχω βρει και κυρίως τα Αγγλοσαξωνικά που χρησιμοποιούμε (για να γράψω αυτές τις γραμμές π.χ. κοίταξα το βιβλίο του B. R. Gelbaum : Ploblems in Real and Complex Analysis) ορίζουν το δεκαδικό μέρος όπως προανέφερα.
Εν πάσει περιπτώσει νομίζω πως καλό είναι, αφού υπάρχει διχογνωμία, όταν κάποιος προτείνει μία άσκηση που αναφέρεται στο δεκαδικό μέρος να γράφει πως το ορίζει.
Φιλικά

[mathxl]

Φίλε Σπύρο, η άσκηση (για την οποία ανταλλάξαμε pm) δεν με ενδιαφέρει καθόλου, ειδάλλως θα συνέχιζα από εκεί. Αυτό που με ενδιαφέρει είναι καθαρά η μαθηματική έννοια και συγκεκριμένα το δικό μου, ίσως γνωστικό κενό. Αυτά που αναφέρεις "περί διχογνωμίας" είναι υπαρκτά. Να σε πληροφορήσω ότι κάτι αντίστοιχα είχε γίνει και με τον Χρήστο (Κυριαζή) όταν προσπαθούσαμε να βρούμε ορισμό για την αρχική σε διάστημα. Αλλού την ορίζουν έτσι αλλού αλλιώς. Του είχα στείλει μήνυμα που του έλεγα ότι με λυπεί προσωπικά όταν εμείς οι μαθηματικοί ορίζουμε κάτι έτσι,και κάπου αλλού αλλιώς πχ το ακέραιο μέρος για αρνητικό. Ωστόσο δεν αποκλείω το ενδεχόμενο, να μην έχω κατανοήσει ή να μην γνωρίζω πράγματα. Η συγκεκριμένη δημοσίευση έχει ως σκοπό να "μάθω" και σε καμία περίπτωση να φανεί αν έχω δίκιο ή δεν έχω ως προς τον μεταξύ μας διάλογο μέσω μηνυμάτων (αν και νομίζω ότι εκεί συμφωνήσαμε στο τέλος)

Με εκτίμηση Βασίλης

[cretanman]

Το ακέραιο μέρος (Integer Part or Integral Part) ενός πραγματικού αριθμού x ορίζεται ως ο μοναδικός ακέραιος n για τον οποίο ισχύει ή λεκτικά: Ο μεγαλύτερος ακέραιος που δεν υπερβαίνει το x. Τουλάχιστον εγώ έτσι το συναντούσα πάντοτε σε όλα τα βιβλία Θεωρίας Αριθμών. Οπότε το κλασματικό μέρος {x} είναι ίσο με x-[x]. Βέβαια δεν ήταν λίγες οι φορές που στα προβλήματα που συναντούσα το διατύπωνε λεκτικά: "Με [x] συμβολίζουμε το ακέραιο μέρος του αριθμού x, δηλαδή το μεγαλύτερο ακέραιο που δεν υπερβαίνει το x."

To maple σαν πρόγραμμα ταυτίζει για θετικούς και αρνητικούς το ακέραιο μέρος με τη συνάρτηση floor (πάτωμα).

Δίνει δηλαδή [3,2]=3 και [-3.2]=-4 που ταιριάζει με τον ορισμό που έδωσα παραπάνω. Μάλλον οι κομπιουτεράδες μας δημιούργησαν την σύγχυση διότι πριν από μερικά χρόνια δεν υπήρχε η έννοια του floor και ceiling function. Είναι σχετικά καινούριοι συμβολισμοί.

Σε όλα τα παλιά βιβλία αριθμοθεωρίας έχουμε συμφωνία με τα παραπάνω. Για παράδειγμα στη βίβλο των Hardy και Wright "An Introduction to the Theory of Numbers" που στη σελίδα 75 (4η έκδοση) γράφουν:

"We introduce here a notation which we shall use frequently later. We write [x] for the 'integral part of x', the largest integer which does not exceed x. Thus x=[x]+f where 0 < f < 1. For example, [1/2] = 0, [-3/2]=-2 "

δηλαδή (μετάφραση):

"Εισάγουμε ένα σύμβολο που θα χρησιμοποιήσουμε ευρέως αργότερα. Γράφουμε [x] για το "ακέραιο μέρος του x", το μεγαλύτερο ακέραιο που δεν υπερβαίνει το x. Συνεπώς x=[x]+f όπου 0<f<1. Για παράδειγμα, [1/2] = 0, [-3/2]=-2 "

Αλλά και στο επίσης πολύ γνωστό βιβλίο των Niven, Zuckerman "An Introduction to the Theory of Numbers" έκδοση 3η (1972) σελ 65. γράφει:

"Definition 3.3: For real x, the symbol [x] denotes the greatest integer less than or equal to x.

For example, [15/2] = 7, [-15/2] = -8, [-15] = -15."

δηλαδή (μετάφραση):

"Ορισμός 3.3: Για πραγματικό x, το σύμβολο [x] παριστάνει το μεγαλύτερο ακέραιο που είναι μικρότερος ή ίσος με τον x.

Για παράδειγμα, [15/2] = 7, [-15/2] = -8, [-15] = -15."

Τέλος, σε ένα νεότερο βιβλίο Θεωρίας Αριθμών του J. Tattersall (Εκδόσεις Cambridge University Press) "Elementary Number Theory in Nine Chapters", 2005 στη λίστα συμβόλων (παρά το ότι έχει γίνει ήδη εισαγωγή του συμβόλου για floor και ceiling functions) γράφει:

"[x]: greatest integer not greater than x"

δηλαδή (μετάφραση):

"[x]: Ο μεγαλύτερος ακέραιος που δεν υπερβαίνει το x"

Φαντάζομαι δηλαδή Βασίλη ότι η Wolfram (εταιρεία που παράγει το λογισμικό mathematica), έχει απλά υιοθετήσει το συμβολισμό που θέλει για να κάνει τη "κομπιουτερίστικη" δουλειά της. Από κει και πέρα, νομίζω ότι (μάλλον) τα (περισσότερα) συγγράματα συμφωνούν με το ότι:

Ακέραιο μέρος ενός πραγματικού (θετικού ή αρνητικού) αριθμού x είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος που δεν υπερβαίνει τον x.

Αλέξανδρος