Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Γ΄ Λυκείου
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Γ΄ Λυκείου
Πρόβλημα 1
Έστω πραγματική συνάρτηση, συνεχής στο διάστημα και ομόσημοι πραγματικοί αριθμοί.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει λύση στο διάστημα .
Πρόβλημα 2
i. Να αποδείξετε ότι κάθε πρώτος αριθμός γράφεται ως ή , για κάποιον θετικό ακέραιο .
ii. Δίνονται οι αριθμοί , όπου πρώτος αριθμός.
Να βρείτε όλες τις τριάδες τέτοιες, ώστε οι να είναι πρώτοι αριθμοί.
Πρόβλημα 3
Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο . Έστω το συμμετρικό του ως προς το . Έστω ακόμα το μέσον του και η ορθή προβολή του πάνω στην . Αν η τέμνει την στο , να αποδείξετε ότι οι γωνίες και είναι ίσες.
Πρόβλημα 4
Έστω μια ακολουθία ακεραίων τέτοια, ώστε , για
Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος είναι ίσος με μια διαφορά της μορφής για κάποια και .
Έστω πραγματική συνάρτηση, συνεχής στο διάστημα και ομόσημοι πραγματικοί αριθμοί.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει λύση στο διάστημα .
Πρόβλημα 2
i. Να αποδείξετε ότι κάθε πρώτος αριθμός γράφεται ως ή , για κάποιον θετικό ακέραιο .
ii. Δίνονται οι αριθμοί , όπου πρώτος αριθμός.
Να βρείτε όλες τις τριάδες τέτοιες, ώστε οι να είναι πρώτοι αριθμοί.
Πρόβλημα 3
Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο . Έστω το συμμετρικό του ως προς το . Έστω ακόμα το μέσον του και η ορθή προβολή του πάνω στην . Αν η τέμνει την στο , να αποδείξετε ότι οι γωνίες και είναι ίσες.
Πρόβλημα 4
Έστω μια ακολουθία ακεραίων τέτοια, ώστε , για
Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος είναι ίσος με μια διαφορά της μορφής για κάποια και .
Σωτήρης Λοϊζιάς
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13230
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Γ΄ Λυκείου
Εφόσον δεν υπάρχει σχήμα, νομίζω ότι έπρεπε να λέει "ίσες ή παραπληρωματικές" (σε περίπτωση που ).
Ή αλλιώς να δίνεται ότι Επεξεργασία: Δίνω το σχήμα για την περίπτωση που είναι
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Δευ Δεκ 10, 2018 12:54 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13230
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Γ΄ Λυκείου
Θεωρώ συνάρτηση που είναι συνεχής στο
(αφού οι είναι ομόσημοι). Άρα από θεώρημα του Bolzano, η έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο και το ζητούμενο έπεται.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Γ΄ Λυκείου
i) Αφού πρώτος δεν διαιρείται με το .
Αρα η διαίρεση του με το δίνει υπόλοιπο η .
Προκύπτει ότι ή
ii)Δεν καταλαβαίνω τι ρόλο παίζει το τρίτο.Μάλλον για να μπερδέψει.
Εστω ότι οι είναι πρώτοι.
Προφανώς
Αν τότε από το i) θα είναι ή
Αν τότε όχι πρώτος.
Αρα
τότε όμως είναι
όχι πρώτος.
Αρα αν οι είναι πρώτοι τότε
Πράγματι για είναι που είναι πρώτοι.
Σπάει ο διάβολος το ποδάρι του και είναι και πρώτος
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13230
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Γ΄ Λυκείου
Επειδή και το είναι μέσο του θα είναι μέσο και του οπότε αλλά και
Άρα το είναι ισοσκελές τραπέζιο και
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Γ΄ Λυκείου
Αν τότε αφού . Άρα κι έτσι .
Αν τότε αφού άρα δύο από αυτούς έστω και με έχουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρεθούν με το ( αριθμοί και τα πιθανά υπόλοιπα) κι έτσι η διαφορά τους διαιρείται από το . Αφού λοιπόν άρα .
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 30 επισκέπτες