Ανισότητες με τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Stelios V8 · #1

Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με τύπο $f\left ( x \right )=x-\ln\left ( e^{x} +1\right )$ , τότε

(α) $f\left ( sin\left ( x \right ) \right )< sin\left ( f\left ( x \right ) \right )$ $\forall x \in \mathbb{R}$

(β) $f\left ( \cos \left ( x \right ) \right )<cos\left ( f\left ( x \right ) \right )$ $\forall x \in \mathbb{R}$

(γ) $f\left ( \tan \left ( x \right ) \right )> tan\left ( f\left ( x \right ) \right ) \forall x\in \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$

#2

εχουμε $\displaystyle{ f(x)=ln(\frac{e^x}{e^x+1} }$ άρα $\displaystyle{f(x)<0}$ επιπλέον $\displaystyle{f(x)-x=-ln(e^x+1)<0}$ και $\displaystyle{f'(x)=\frac{1}{1+e^x}>0}$ οπότε $\displaystyle{f \uparrow}$

Τώρα για $\displaystyle{y<0 }$ είναι $\displaystyle{siny>y}$ ή $\displaystyle{sin(f(x))>f(x) }$ [1] και για $\displaystyle{x>0}$ έχουμε $\displaystyle{x>sinx}$ και επειδή είναι γν αύξουσα
$\displaystyle{f(x)>f(sinx)}$ [2] το ζητούμενο έπεται άμεσα από τις [1],[2]

αν $\displaystyle{-x<0}$ τότε $\displaystyle{sin(f(-x))>f(-x) }$ και $\displaystyle{ -x>sin(-x)=-sinx}$ ενώ η $\displaystyle{f(-x)}$ ειναι γν φθίνουσα αρ
$\displaystyle{f(-x)<f(-sinx)=f((sin(-x))}$ και παλι το ζητούμενο έπεται

Για $\displaystyle{x=0}$ ισχύει
Θα προσπαθήσω τα υπολοιπα αργότερα

#3

3η Είναι $\displaystyle{Tanx>x,0<x<\pi /2}$ , $\displaystyle{,f\uparrow}$ τότε $\displaystyle{f(Tanx)>f(x)}$ [3] και $\displaystyle{-f(x)>0}$ άρα $\displaystyle{-f(x)<Tan(-f(x))=-Tan(f(x))\Rightarrow f(x)>Tan(f(x))}$ [4] τότε από [3],[4] το ζητούμενο

Stelios V8 · #4

Στο πρώτο ερώτημα, $f\left ( \sin \left ( x \right ) \right )< \sin \left ( f\left ( x \right ) \right )$ , πιστεύω ότι δεν έχει απαντηθεί η περίπτωση x< 0

. Επίσης δεν ισχύει η ισότητα για x= 0

και σε όλα τα ερωτήματα οι ανισότητες είναι γνήσιες.

#5

Για $\displaystyle{x>0 \Rightarrow f(sinx)<f(x)<sin(f(x))}$
Για $\displaystyle{-x<0 \Rightarrow f(sin(-x))<f(-x))<sin(f(-x)) }$ ή $\displaystyle{z<0\Rightarrow f(sin(z))<f(z)<sin(f(z)) }$
και αναφερω ότι για $\displaystyle{x=0}$ ισχύει

Stelios V8 · #6

Για

ισχύει η ανισότητα $f\left ( x \right )< f\left ( sin\left ( x \right ) \right )< sin\left ( f\left ( x \right ) \right )$ επίσης για x=0

είναι $f\left ( sin\left ( 0 \right ) \right )=f\left ( 0 \right )<sin\left ( f\left ( 0 \right ) \right )$ αφού $f\left ( 0 \right )< 0$ άρα δεν έχουμε ισότητα!
Για του λόγου το αληθές...

#7

Σωστα έχεις δίκιο Αβλεψία μου

Ανισότητες με τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Ανισότητες με τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Re: Ανισότητες με τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Re: Ανισότητες με τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Re: Ανισότητες με τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Re: Ανισότητες με τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Re: Ανισότητες με τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Re: Ανισότητες με τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση