Toughie
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Toughie
Θα δούμε ότι η ανισότητα ισχύει στο
όπου η πρώτη θετική ρίζα της
()
Η δοθείσα γράφεται ισοδύναμα
Προφανώς για
ισχύει
Για
γίνεται
Αλλά για είναι
Αρα για γινεται
Αυτή ισχύει για
λόγω της
και για λόγω ότι είναι
Η απόδειξη δεν είναι πλήρης.Πρέπει να αποδειχθεί (χωρίς κομπιουτεράκι) ότι
Για να είναι αρκεί
η ισοδύναμα
η τελευταία γράφεται
Αλλά
γιατί
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Toughie
Ας γράψω και τη δικιά μου λύση. Την άσκηση την είχε θέσει ο Ηλίας Αγγελάκος.
Η ανισότητα γράφεται ισοδύναμα
Η είναι γνησίως αύξουσα και αφού
Για είναι και επομένως ισχύει.
Για τα υψώνοντας στο τετράγωνο καταλήγουμε στην
που ως γνωστόν (άσκηση σχολικού) αληθεύει. Άρα μένει να την δείξουμε για τα .
Επειδή η είναι γνησίως φθίνουσα στο ενώ η
γνησίως αύξουσα και επιπλέον ισχύει η αρκεί να δείξουμε ότι η οποία συνεπάγεται από την:
η οποία συνεπάγεται από την: η οποία συνεπάγεται από την:
η οποία συνεπάγεται από την:
Η εξίσωση έχει ρίζες τις και επιπλέον
Συνεπώς αρκεί να δείξουμε ότι ή ισοδύναμα
Δείχνουμε πρώτα ότι Αυτό είναι απλό γιατί
αφού
Τώρα πάμε στην . Γράφουμε για ευκολία
Βρίσκουμε τώρα ένα κατάλληλο άνω φράγμα για τη (θετική) διαφορά Είναι
Εύκολα τώρα μπορούμε να ελέγξουμε (υψώνοντας στο τετράγωνο) ότι
Αν ήταν τότε υψώνοντας στο τετράγωνο και κάνοντας χρήση της παίρνουμε
Από τις παίρνουμε
άτοπο από την και η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.
Η ανισότητα γράφεται ισοδύναμα
Η είναι γνησίως αύξουσα και αφού
Για είναι και επομένως ισχύει.
Για τα υψώνοντας στο τετράγωνο καταλήγουμε στην
που ως γνωστόν (άσκηση σχολικού) αληθεύει. Άρα μένει να την δείξουμε για τα .
Επειδή η είναι γνησίως φθίνουσα στο ενώ η
γνησίως αύξουσα και επιπλέον ισχύει η αρκεί να δείξουμε ότι η οποία συνεπάγεται από την:
η οποία συνεπάγεται από την: η οποία συνεπάγεται από την:
η οποία συνεπάγεται από την:
Η εξίσωση έχει ρίζες τις και επιπλέον
Συνεπώς αρκεί να δείξουμε ότι ή ισοδύναμα
Δείχνουμε πρώτα ότι Αυτό είναι απλό γιατί
αφού
Τώρα πάμε στην . Γράφουμε για ευκολία
Βρίσκουμε τώρα ένα κατάλληλο άνω φράγμα για τη (θετική) διαφορά Είναι
Εύκολα τώρα μπορούμε να ελέγξουμε (υψώνοντας στο τετράγωνο) ότι
Αν ήταν τότε υψώνοντας στο τετράγωνο και κάνοντας χρήση της παίρνουμε
Από τις παίρνουμε
άτοπο από την και η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες