Toughie

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Για κάθε $x\in(0,2)$ να δείξετε ότι ισχύει
$\displaystyle{ \dfrac{\sin x}{x}>\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}}.$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 30, 2018 9:35 am
Για κάθε $x\in(0,2)$ να δείξετε ότι ισχύει
$\displaystyle{ \dfrac{\sin x}{x}>\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}}.$

Θα δούμε ότι η ανισότητα ισχύει στο (0,c)

όπου

η πρώτη θετική ρίζα της $\tan x+x=0$

( 2<c<2,03

)

Η δοθείσα γράφεται ισοδύναμα $(\sin x)^{2}> \frac{x^{2}}{1+x^{2}}$

Προφανώς για $x=\frac{\pi }{2}$

ισχύει

Για $x\neq \frac{\pi }{2}$

γίνεται $\frac{1}{(\cos x)^{2}}>1+x^{2}$

Αλλά για $x\neq \frac{\pi }{2}$ είναι $1+(\tan x)^{2}=\frac{1}{(\cos x)^{2}}$

Αρα για $x\neq \frac{\pi }{2}$ γινεται

$(\tan x)^{2}> x^{2}$

Αυτή ισχύει για $0< x< \frac{\pi }{2}$

λόγω της $x\in (0,\frac{\pi }{2})\Rightarrow \tan x> x$

και για $x\in (\frac{\pi }{2},c)$ λόγω ότι είναι $\tan x< -x$

Η απόδειξη δεν είναι πλήρης.Πρέπει να αποδειχθεί (χωρίς κομπιουτεράκι) ότι c>2

Για να είναι c>2

αρκεί $\tan 2< -2$

η ισοδύναμα $(\tan 2)^{2}> 4,1+(\tan 2)^{2}> 5,(\cos 2)^{2}< \frac{1}{5}$

η τελευταία γράφεται $\cos 2> -\frac{1}{\sqrt{5}},-\cos 2< \frac{1}{\sqrt{5}}$

Αλλά
$-\cos 2=-\cos (\frac{\pi }{2}+2-\frac{\pi }{2})= \sin (2-\frac{\pi }{2})< 2-\frac{\pi }{2}< 2-\frac{3,14}{2}=0,43< \frac{1}{\sqrt{5}}$
γιατί
$(0,43)^{2}=0,1849< 0,2=\frac{1}{5}$

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Ας γράψω και τη δικιά μου λύση. Την άσκηση την είχε θέσει ο Ηλίας Αγγελάκος.

Η ανισότητα γράφεται ισοδύναμα $\displaystyle{ \sin x>\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} }.$

Η $\displaystyle{\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} }$ είναι γνησίως αύξουσα και

αφού $\displaystyle{\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}= \sqrt{\dfrac{x^2}{x^2+1}}< \sqrt{\dfrac{x^2}{x^2}}=1 }.$

Για $x=\dfrac{\pi}{2}$ είναι $\displaystyle {\sin \dfrac{\pi }{2}=1> \sqrt{\dfrac{(\pi /2)^2}{(\pi /2)^2+1}} }(\bigstar)$ και επομένως ισχύει.

Για τα $x \in (0,\dfrac{\pi }{2})$ υψώνοντας στο τετράγωνο καταλήγουμε στην $\displaystyle {\tan x >x}$

που ως γνωστόν (άσκηση σχολικού) αληθεύει. Άρα μένει να την δείξουμε για τα $x \in (\dfrac{\pi }{2},2)$ .

Επειδή η $\displaystyle {\sin x }$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $x \in [\dfrac{\pi }{2},2)$ ενώ η $\displaystyle{ \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} }$

γνησίως αύξουσα και επιπλέον ισχύει η $(\bigstar)$ αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle {\sin 2 >\frac{2}{\sqrt{2^2+1}} }$ η οποία συνεπάγεται από την: $\displaystyle {\sin 2 >\frac{2}{\sqrt{5}} }$

η οποία συνεπάγεται από την: $\displaystyle {\sin 1 \cos 1 >\frac{1}{\sqrt{5}} }$ η οποία συνεπάγεται από την: $\displaystyle {5 \sin ^2 1 \cos ^2 1 >1}$

η οποία συνεπάγεται από την: $\displaystyle {5 \cos ^4 1 -5 \cos ^2 1+1<0}.$

Η εξίσωση $\displaystyle {5 x ^2 -5 x +1=0}$ έχει ρίζες τις $\displaystyle {\frac{5-\sqrt{5}}{10},\frac{5+\sqrt{5}}{10}}$ και επιπλέον $\displaystyle {5 x^ 2 -5 x +1<0\Leftrightarrow x \in (\frac{5-\sqrt{5}}{10},\frac{5+\sqrt{5}}{10})}.$

Συνεπώς αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle {\cos ^2 1\in (\frac{5-\sqrt{5}}{10},\frac{5+\sqrt{5}}{10})}$ ή ισοδύναμα $\displaystyle {\cos 1\in (\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}},\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}})}.$

Δείχνουμε πρώτα ότι $\displaystyle {\cos 1<\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}}.$ Αυτό είναι απλό γιατί $\displaystyle {\cos 1<\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}<\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}}$

αφού $\displaystyle {\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )^2= \frac{1}{2}=\frac{5}{10}<\frac{5+\sqrt{5}}{10} =\left (\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}} \right )^2}.$

Τώρα πάμε στην $\displaystyle {\cos 1>\sqrt{\dfrac{5-\sqrt{5}}{10}}}$ . Γράφουμε για ευκολία $A=\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{5}}{10}},B=\sqrt{\dfrac{5-\sqrt{5}}{10}}$

Βρίσκουμε τώρα ένα κατάλληλο άνω φράγμα για τη (θετική) διαφορά $\sin1-\cos 1.$ Είναι

$\displaystyle{\sin1-\cos 1=\sqrt{2} \sin(1-\dfrac{\pi }{4})<\sqrt{2}(1-\dfrac{\pi }{4})<\sqrt{2}(1-\dfrac{3.1 }{4})=\sqrt{2}\dfrac{9}{40}.}$

Εύκολα τώρα μπορούμε να ελέγξουμε (υψώνοντας στο τετράγωνο) ότι $\displaystyle{A-B>\sqrt{2}\dfrac{9}{40}>\sin 1 -\cos 1(\bigstar \bigstar ) }$

Αν ήταν $\cos 1\leq \sqrt{ \dfrac{5-\sqrt{5}}{10} }(\blacklozenge )$ τότε υψώνοντας στο τετράγωνο και κάνοντας χρήση της $\cos^2 x=1-\sin^2 x$ παίρνουμε

$\sin1\geq \sqrt{ \dfrac{5+\sqrt{5}}{10} }(\blacklozenge \blacklozenge).$ Από τις $(\blacklozenge ),(\blacklozenge \blacklozenge)$ παίρνουμε $\sin1-\cos1\geq \sqrt{ \dfrac{5+\sqrt{5}}{10} } -\sqrt{ \dfrac{5-\sqrt{5}}{10} }=A-B$

άτοπο από την $(\bigstar \bigstar )$ και η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.

Toughie

Toughie

Re: Toughie

Re: Toughie

Μέλη σε σύνδεση