Συντρέχουν...
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Συντρέχουν...
Δίνεται το αρμονικό τετράπλευρο . Να αποδείξετε ότι η ευθεία που ορίζεται από τα έγκεντρα και αντίστοιχα των τριγώνων και , διέρχεται από το σημείο τομής των εξωτερικών διχοτόμων των γωνιών και .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Συντρέχουν...
(Όχι και φοβερά κομψά)
Δεν είναι δύσκολο να δει κανείς ότι το ανήκει στην .( από το αρμονικό τετράπλευρο+θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου).
Αρκεί ,γιατί τότε λόγω της κοινής τους ακτίνας τα σημεία τομής των ομόλογων ακτινών θα είναι συνευθειακά.
Από ιδιότητες διπλών λόγων αρκεί ,δηλαδή αν ορίσω ,αρκεί ,(υπολογίζω τον διπλό λόγο τριγωνομετρικά),δηλαδή δηλαδή .
Από γνωστές ιδιότητες,αρκεί . Iσχύει από νόμο ημιτόνων() και τη σχέση πλευρών του αρμονικού(ίσο γινόμενο απέναντι πλευρών ) ότι οπότε και αρκεί ή που τελικά καταλήγει στην που ισχύει από ιδιότητες αναλογιών και την .
Δεν είναι δύσκολο να δει κανείς ότι το ανήκει στην .( από το αρμονικό τετράπλευρο+θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου).
Αρκεί ,γιατί τότε λόγω της κοινής τους ακτίνας τα σημεία τομής των ομόλογων ακτινών θα είναι συνευθειακά.
Από ιδιότητες διπλών λόγων αρκεί ,δηλαδή αν ορίσω ,αρκεί ,(υπολογίζω τον διπλό λόγο τριγωνομετρικά),δηλαδή δηλαδή .
Από γνωστές ιδιότητες,αρκεί . Iσχύει από νόμο ημιτόνων() και τη σχέση πλευρών του αρμονικού(ίσο γινόμενο απέναντι πλευρών ) ότι οπότε και αρκεί ή που τελικά καταλήγει στην που ισχύει από ιδιότητες αναλογιών και την .
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Συντρέχουν...
Λίγο πιο "κομψά":
Έστω ότι η τέμνει την στο . Θα αποδείξουμε πως το βρίσκεται στην εξωτερική διχοτόμο της και όμοια θα ανήκει στην εξωτερική διχοτόμο της .
Φέρνουμε την εσωτερική διχοτόμο της και έστω πως τέμνει την στο .
Αρκεί η τετράδα να είναι αρμονική.
Είναι γνωστό πως οι , τέμνονται πάνω στο , έστω στο . Φέρνουμε τις και και έστω πως τέμνονται στο . Η τέμνει την στο . Ισχύει από το πλήρες τετράπλευρο ότι η τετράδα είναι αρμονική.
Επομένως αρκεί να αποδειχθεί πως .
Από θεώρημα διχοτόμου έχουμε ότι και από στο έχουμε ότι .
Όμως και (θεωρήματα διχοτόμων), οπότε πράγματι .
Και το ζητούμενο έπεται.
Έστω ότι η τέμνει την στο . Θα αποδείξουμε πως το βρίσκεται στην εξωτερική διχοτόμο της και όμοια θα ανήκει στην εξωτερική διχοτόμο της .
Φέρνουμε την εσωτερική διχοτόμο της και έστω πως τέμνει την στο .
Αρκεί η τετράδα να είναι αρμονική.
Είναι γνωστό πως οι , τέμνονται πάνω στο , έστω στο . Φέρνουμε τις και και έστω πως τέμνονται στο . Η τέμνει την στο . Ισχύει από το πλήρες τετράπλευρο ότι η τετράδα είναι αρμονική.
Επομένως αρκεί να αποδειχθεί πως .
Από θεώρημα διχοτόμου έχουμε ότι και από στο έχουμε ότι .
Όμως και (θεωρήματα διχοτόμων), οπότε πράγματι .
Και το ζητούμενο έπεται.
Houston, we have a problem!
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Συντρέχουν...
Με λίγες διαφορές...
Εφόσον το τετράπλευρο είναι αρμονικό, γνωρίζουμε ότι οι διχοτόμοι και αντίστοιχα των γωνιών και , θα τέμνονται στο σημείο της διαγωνίου . Επίσης, το σημείο τομής των εξωτερικών διχοτόμων των γωνιών και θα ανήκει στην ευθεία της διαγωνίου . Στη συνέχεια, έστω , τα σημεία στα οποία οι και τέμνουν τις και αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι η ευθεία διέρχεται από το σημείο . Αρκεί,
(Θεώρημα Μενελάου).
Από τα θεωρήματα των διχοτόμων έχουμε
Εφόσον το τετράπλευρο είναι αρμονικό, τότε
Επομένως, το αριστερό μέλος της , λόγω των και γίνεται:
Τώρα, το συμπέρασμα του προβλήματος προκύπτει με εφαρμογή του αντίστροφου του θεωρήματος Desargques στα τρίγωνα και . Πράγματι, τα σημεία τομής , , αντίστοιχα των ευθειών και , και , και ανήκουν στην ίδια ευθεία, οπότε οι ευθείες που συνδέουν τις κορυφές και , και , και θα διέρχονται από το ίδιο σημείο. Όμως, το σημείο τομής των και είναι το . Επομένως, και η ευθεία θα διέρχεται και αυτή από το , που είναι το αποδεικτέο.
Εφόσον το τετράπλευρο είναι αρμονικό, γνωρίζουμε ότι οι διχοτόμοι και αντίστοιχα των γωνιών και , θα τέμνονται στο σημείο της διαγωνίου . Επίσης, το σημείο τομής των εξωτερικών διχοτόμων των γωνιών και θα ανήκει στην ευθεία της διαγωνίου . Στη συνέχεια, έστω , τα σημεία στα οποία οι και τέμνουν τις και αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι η ευθεία διέρχεται από το σημείο . Αρκεί,
(Θεώρημα Μενελάου).
Από τα θεωρήματα των διχοτόμων έχουμε
Εφόσον το τετράπλευρο είναι αρμονικό, τότε
Επομένως, το αριστερό μέλος της , λόγω των και γίνεται:
Τώρα, το συμπέρασμα του προβλήματος προκύπτει με εφαρμογή του αντίστροφου του θεωρήματος Desargques στα τρίγωνα και . Πράγματι, τα σημεία τομής , , αντίστοιχα των ευθειών και , και , και ανήκουν στην ίδια ευθεία, οπότε οι ευθείες που συνδέουν τις κορυφές και , και , και θα διέρχονται από το ίδιο σημείο. Όμως, το σημείο τομής των και είναι το . Επομένως, και η ευθεία θα διέρχεται και αυτή από το , που είναι το αποδεικτέο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες