Τιμή συνάρτησης

#1

...Καλημέρα

....

Μία άσκηση που έδωσαν σε ένα πολύ καλό μου μαθητή και δεν την καταφέραμε και μαζί...
την δημοσιεύω όπως του δόθηκε χωρίς τίποτα επιπλέον αν γίνεται να βρεθεί λύση....

Δίνεται συνάρτηση $f:R\to {{R}^{*}}$ για την οποία ισχύει $f(f(x))+f(x)=2x,\,\,x\in R$ . Να δειχτεί ότι είναι '1-1'

και να υπολογισθεί το f(1)

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Nikos002 · #2

Για το 1o:
$f(f(x)) + f(x) = 2x \Leftrightarrow f(f(x)) = 2x -f(x)$

$f( x_1) =f(x_2) \Rightarrow f(f(x_1)) = f(f(x_2)) \Rightarrow 2x_1-f(x_1)= 2x_2-f(x_2) \Rightarrow 2x_1=2x_2 \Rightarrow x_1=x_2$

Τσιαλας Νικολαος · #3

Προσοχή και στις ισοδυναμίες... Το σωστό είναι με συνεπαγωγή!

#4

Nikos002 έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 28, 2018 2:44 pm
Το 1ο ερώτημα προκύπτει :
$f(f(x)) +f(x) = 2x \Leftrightarrow f(f(x)) = 2x -f(x)$
$f(x1)=f(x2) \Leftrightarrow f(f(x1)) = f(f(x2)) \Leftrightarrow 2x1- f(x1) = 2x2 -f(x2) \Leftrightarrow 2x1=2x2 \Leftrightarrow x1=x2$
Τα f(x1) και f(x2) απλοποιηθηκαν αφού τα πήραμε ίσα από υπόθεση. ( Κάποιος αν μπορεί να τοποθετήσει σωστά τους δείκτες )

Για τους δείκτες σε latex γράφεις "κάτω παύλα". Π.χ. το x_1

είναι "δολλάριο χ _ 1 δολλάριο". Για περισσότερα ψηφία στους δείκτες, όπως $x_{123}$ γράφουμε "δολλάριο χ _ {123} δολλάριο". Δες το θρεντ "Γραφή σε latex" για να μάθεις άλλα παρόμοια.

Κάνε λοιπόν τις διορθώσεις στο παραπάνω.

Με την ευκαιρία, δες το σχόλιο εδώ και την εκεί παραπομπή.

Nikos002 · #5

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 28, 2018 3:08 pm
Προσοχή και στις ισοδυναμίες... Το σωστό είναι με συνεπαγωγή!

Ναι το ξέρω έτσι και αλλιώς ο ορισμός της 1-1 έχει δωθεί μέσω συνεπαγωγης αλλά γράφω από κινητο και είναι δύσκολο να επιλέξω το σωστό σύμβολο , ήθελα την συνεπαγωγή αλλα έβγαλα την ισοδυναμία οπότε απλός μετά το αντεγραψα έτσι ώστε να μην είναι ξεκαρφωτο

#6

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 28, 2018 10:54 am
Δίνεται συνάρτηση $f:R\to {{R}^{*}}$ για την οποία ισχύει $f(f(x))+f(x)=2x,\,\,x\in R$ . Να δειχτεί ότι είναι και να υπολογισθεί το

Δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε το f(1)

γιατί υπάρχουν πολλές συναρτήσεις που ικανοποιούν την δοθείσα, αλλά έχουν διαφορετική τιμή στο

. Τέτοιες συναρτήσεις μπορούμε να κατασκευάσουμε επαγωγικά. Μία δυσκολία που πρέπει να ξεπεράσουμε είναι ότι το σύνολο τιμών δεν περιέχει το

(αλλιώς η

θα ήταν επιτρεπτή περίπτωση).

Ορίζουμε f(0)=1

. Η τιμή του f(1)

είναι υποχρεωτική από την δοθείσα σχέση, αφού $f(1)= f(f(0))= 2\cdot 0 -f(0)= -1$ . Όμοια η τιμή του f(-1)

είναι υποχρεωτική, και πάει λέγοντας. Συγκεκριμένα προσδιορίζουμε τις $a_0=0, \, a_1=1$ και μετά $\displaystyle{a_{n+1}= f(a_n)}$ μέσω της $a_{n+2}= f(a_{n+1})= f(f(a_n))=2a_n-f(a_n})= 2a_n-a_{n+1}$ .

Εδώ έχουμε την $0 \rightarrow 1 \rightarrow -1\rightarrow 3 \rightarrow -5 \rightarrow 11 \rightarrow -21\rightarrow ...$

Εύκολα βλέπουμε επαγωγικά ότι οι τιμές δεν επαναλαμβάνονται, οι $a_{2n}$ είναι

και φθίνουν συνεχώς, ενώ $a_{2n+1}>0$ και αυξάνουν συνεχώς. Έτσι ξέρουμε τις τιμές της

στα

, και ικανοποιούνται οι συνθήκες. Για

διαφορετικό από τα a_n

θέτουμε

. H

αυτή είναι κατάλληλη. Εδώ f(1)=-1

.

Αν κάναμε την ίδια δουλειά με την g(0)=2, g(2)=-2

(υποχρεωτικό), δηλαδή θα βρίσκαμε

$0\rightarrow 2 \rightarrow -2 \rightarrow 6 \rightarrow -10 \rightarrow 22 \rightarrow ...$

Ορίζουμε g(x)=x

στα υπόλοιπα. Eδώ g(1)=1

που είναι διαφορετική τιμή από το f(1)=-1

.

Ελπίζω να μην έκανα λάθος καμιά πράξη γιατί γράφω υπό πίεση και είμαι ξενύχτης...

Nikos002 · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 28, 2018 3:13 pm

Nikos002 έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 28, 2018 2:44 pm
Το 1ο ερώτημα προκύπτει :
$f(f(x)) +f(x) = 2x \Leftrightarrow f(f(x)) = 2x -f(x)$
$f(x1)=f(x2) \Leftrightarrow f(f(x1)) = f(f(x2)) \Leftrightarrow 2x1- f(x1) = 2x2 -f(x2) \Leftrightarrow 2x1=2x2 \Leftrightarrow x1=x2$
Τα f(x1) και f(x2) απλοποιηθηκαν αφού τα πήραμε ίσα από υπόθεση. ( Κάποιος αν μπορεί να τοποθετήσει σωστά τους δείκτες )
Για τους δείκτες σε latex γράφεις "κάτω παύλα". Π.χ. το είναι "δολλάριο χ _ 1 δολλάριο". Για περισσότερα ψηφία στους δείκτες, όπως $x_{123}$ γράφουμε "δολλάριο χ _ {123} δολλάριο". Δες το θρεντ "Γραφή σε latex" για να μάθεις άλλα παρόμοια.

Κάνε λοιπόν τις διορθώσεις στο παραπάνω.

Με την ευκαιρία, δες το σχόλιο εδώ και την εκεί παραπομπή.

Καλύτερα?

Τιμή συνάρτησης

Τιμή συνάρτησης

Re: Τιμή συνάρτησης

Re: Τιμή συνάρτησης

Re: Τιμή συνάρτησης

Re: Τιμή συνάρτησης

Re: Τιμή συνάρτησης

Re: Τιμή συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση