Γωνία απ' το πουθενά

#1

: Γωνία απ' το πουθενά.png (18.12 KiB) Προβλήθηκε 1417 φορές

Από τις κορυφές A, C

τριγώνου

φέρνουμε εφαπτόμενες στον περίκυκλό του, που τέμνουν τις BC, BA

στα

αντίστοιχα. Αν

είναι ένα κοινό σημείο των κύκλων (E, EC), (D, DA),

να υπολογίσετε τη γωνία $D\widehat PE=\theta.$

#2

Επαναφορά.

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 08, 2018 12:33 pm
Γωνία απ' το πουθενά.png
Από τις κορυφές τριγώνου φέρνουμε εφαπτόμενες στον περίκυκλό του, που τέμνουν τις στα

αντίστοιχα. Αν είναι ένα κοινό σημείο των κύκλων να υπολογίσετε τη γωνία $D\widehat PE=\theta.$

Για να μην μείνει αναπάντητη η πρόταση (πιθανότατα υπάρχει και γωνιακή λύση αλλά προς στιγμή μου διαφεύγει μια "παραλληλία") ας δούμε μια μετρική μπελαλίδικη λύση (αναλυτικά οι πράξεις) .

Έστω (χωρίς βλάβη της γενικότητας) ότι στο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ είναι . Από την προφανή ομοιότητα (γωνιακό κριτήριο) των τριγώνων $\vartriangle BCE,\vartriangle CAE$ προκύπτει ότι:

$\dfrac{{BE}}{{EC}} = \dfrac{a}{b} = \dfrac{{EC}}{{EA}} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} BE = \dfrac{a}{b} \cdot EC \\ EC = \dfrac{a}{b} \cdot EA \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} BE = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} \cdot EA \\ EC = \dfrac{a}{b} \cdot EA \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$ $\left\{ \begin{gathered} BE = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} \cdot \left( {BE - c} \right) \\ EC = \dfrac{a}{b} \cdot EA \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \ldots \left\{ \begin{gathered} \boxed{BE = \dfrac{{{a^2}c}}{{{a^2} - {b^2}}}}:\left( 1 \right) \hfill \\ \boxed{EC = EP = \dfrac{{abc}}{{{a^2} - {b^2}}}}:\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι: $\left\{ \begin{gathered} \boxed{BD = \dfrac{{{c^2}a}}{{{c^2} - {b^2}}}}:\left( 3 \right) \hfill \\ \boxed{AD = PD = \dfrac{{abc}}{{{c^2} - {b^2}}}}:\left( 4 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Από τον νόμο των συνημίτονων στα τρίγωνα $\vartriangle EPD,\vartriangle EBD$ θα έχουμε:

: Γωνία από το πουθενά.png (44.21 KiB) Προβλήθηκε 1172 φορές

$E{D^2} = B{E^2} + B{D^2} - 2BE \cdot BD \cdot \cos B =$ $P{E^2} + P{D^2} - 2PE \cdot PD \cdot \cos \theta \mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)}$

$\dfrac{{{a^4}{c^2}}}{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}}} + \dfrac{{{c^4}{a^2}}}{{{{\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}^2}}} - 2\dfrac{{{a^3}{c^3}}}{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}} \cdot \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} =$ $\dfrac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}}} + \dfrac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{{\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}^2}}} - 2\dfrac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}}\cos \theta$

$\Rightarrow {a^2}{c^2} \cdot \left[ {\dfrac{{{a^2}}}{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}}} + \dfrac{{{c^2}}}{{{{\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}^2}}} - \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}}} \right] =$ ${a^2}{c^2} \cdot \left[ {\dfrac{{{b^2}}}{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{{\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}^2}}} - 2\dfrac{{{b^2}}}{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}}\cos \theta } \right]$

$\Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}}} + \dfrac{{{c^2}}}{{{{\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}^2}}} - \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}} =$ $\dfrac{{{b^2}}}{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{{\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}^2}}} - 2\dfrac{{{b^2}}}{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}}\cos \theta \Rightarrow$

$\cos \theta = \dfrac{{\dfrac{{{b^2}}}{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{{\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}^2}}} - \dfrac{{{a^2}}}{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}}} - \dfrac{{{c^2}}}{{{{\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}^2}}} + \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}}}}{{2\dfrac{{{b^2}}}{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}}}} \Rightarrow$

$\cos \theta = \dfrac{{\dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}}} + \dfrac{{{b^2} - {c^2}}}{{{{\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}^2}}} + \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}}}}{{2\dfrac{{{b^2}}}{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}}}} \Rightarrow$ $\cos \theta = \dfrac{{\dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}} - \dfrac{1}{{{a^2} - {b^2}}} - \dfrac{1}{{{c^2} - {b^2}}}}}{{2\dfrac{{{b^2}}}{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}}}} \Rightarrow$

$\cos \theta = \dfrac{{\dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2} - {c^2} + {b^2} - {a^2} + {b^2}}}{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}}}}{{2\dfrac{{{b^2}}}{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}}}} \Rightarrow$ $\Rightarrow \cos \theta = \dfrac{{\dfrac{{{b^2}}}{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}}}}{{2\dfrac{{{b^2}}}{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}}}} \Rightarrow \cos \theta = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \theta = {60^0}$ και το ζητούμενο έχει υπολογιστεί

Στάθης

min## · #4

Υπάρχει γωνιακή.Τη βρήκα και παρέλειψα να τη βάλω.Θα την ανεβάσω αύριο(εκτός αν με προλάβουν)

min## · #5

Επειδή (ξ)έχασα τη λύση (μάλλον δεν ήταν σωστή-παρόλο που βρήκα τη γωνία 60

):Ουσιαστικά ζητείται να βρεθεί η γωνία μεταξύ 2 Απολλόνιων κύκλων του τριγώνου.Είναι γνωστό και σχετικά εύκολα αποδείξιμο ότι οι 3 Απολλώνιοι κύκλοι έχουν 2 κοινά σημεία (τα λεγόμενα ισοδυναμικά).Επειδή και οι 3 είναι ορθογώνιοι με τον περίκυκλο του ABC

,μια αντιστροφή με οποιονδήποτε από αυτούς θα κρατούσε σταθερό τον περίκυκλο.Αν πχ. αντιστρέψουμε με κύκλο τον (E)

του σχήματος,ο (ABC)

θα πάει στον εαυτό του.Επειδή επιπλέον κόβονται αρμονικά οι (E),(ABC)

(επί της

),το αντίστροφο του

θα είναι το

.(ουσιαστικά άμεσο από την ορθογωνιότητα).Τώρα,οι D,F

θα είναι αντίστροφοι,επειδή ο αντίστροφος του (D)

περνάει από τα B,I1,I2

(και είναι κάθετος στον (ABC)

-η αντιστροφή διατηρεί τις γωνίες μεταξύ των καμπύλων).Άρα είναι ο (F)

.Επειδή η αντιστροφή διατηρεί τις γωνίες,οι γωνίες μεταξύ των (D),(E)... (D),(F)

θα είναι ίσες μεταξύ τους.Το ίδιο ισχύει για όλα τα ανά δύο ζεύγη κύκλων,οπότε "παίζοντας" λίγο καταλήγουμε ότι οι κύκλοι τέμνονται σε γωνίες

μοιρών (ή

,εξαρτάται πως θα το δει κανείς).

: apol.png (56.15 KiB) Προβλήθηκε 1087 φορές

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Στο σχήμα του Στάθη.

Από νόμο ημιτόνων παίρνουμε

$DA=\dfrac{c\sin B}{\sin (C-B)},EC=\dfrac{a\sin B}{\sin (A-B)},CD=\dfrac{b\sin B}{\sin (C-B)}$ (1)

Η γωνία θα είναι

αν και μόνο αν από νόμο συνημιτόνων στο PED

ισχύει

$ED^{2}=DA^{2}+EC^{2}-DA.EC$ (2)
(εχω χρησιμοποιήσει ότι EP=EC,PD=AD

)

Από την άλλη ο νόμος των συνημιτόνων στο τρίγωνο ECD

δίνει
$ED^{2}=EC^{2}+CD^{2}-2EC.CD \cos A$ (3)

Λόγω της (3) θα ισχύει λοιπόν η (2) αν

$DA^{2}-DA.EC=CD^{2}-2CE.CD.\cos A$

Η τελευταία ισχύει αν αντικαταστήσουμε τις (1) και τις γνωστές

$a=2R\sin A,b=2R\sin B,c=2R\sin C$

Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες που χρησιμοποιούνται είναι μόνο

$\sin(A+B)=.....and \sin(A+B).\sin(A-B)=(\sin A)^{2}-(\sin B)^{2}$
(γίνονται αρκετά θαύματα)

#7

Αφού ευχαριστήσω το Στάθη, τον min## και το Σταύρο για την αντιμετώπιση του θέματος, θα δώσω άλλη μία μετρική λύση.

Έστω AD = DP = x,CE = EP = y.

Θα δείξω ότι $\boxed{D{E^2} = {x^2} + {y^2} - xy}$

: Γωνία απ' το πουθενά.β.png (18.32 KiB) Προβλήθηκε 912 φορές

Από θεώρημα Stewart στο ABD,

$\displaystyle {c^2}CD + a{x^2} = {b^2}BD + aCD \cdot DB = {b^2}BD + a{x^2} \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}}$
Από το ίδιο θεώρημα στο ACE

παίρνουμε $\dfrac{{AE}}{{BE}} = \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}$ .

Αλλά, $\displaystyle {x^2} = CD \cdot BD,{y^2} = AE \cdot BE \Rightarrow AE = \frac{{yb}}{a},BD = \frac{{xc}}{b} \Rightarrow$ $\boxed{\frac{{AE \cdot BDa}}{c} = xy}$ (1)

Νόμος συνημιτόνων στο ABD:

$\displaystyle B{D^2} = {x^2} + {c^2} + 2cx\cos \varphi \Leftrightarrow$ $\boxed{2x\cos \varphi = \frac{{B{D^2} - {x^2} - {c^2}}}{c}}$ (2)

Νόμος συνημιτόνων στο ADE:

$\displaystyle D{E^2} = A{E^2} + {x^2} - 2xAE\cos \varphi \mathop = \limits^{(2)} A{E^2} + {x^2} - \frac{{AE}}{c}\left( {B{D^2} - {x^2} - {c^2}} \right)$

$\displaystyle D{E^2} = A{E^2} + {x^2} - \frac{{AE}}{c}(B{D^2} - BD \cdot CD) + AE(BE - AE)$

$\displaystyle D{E^2} = A{E^2} + {x^2} - \frac{{AE \cdot BDa}}{c} + AE \cdot BE - A{E^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{D{E^2} = {x^2} + {y^2} - xy}$ οπότε $\boxed{\theta=60^\circ}$

Γωνία απ' το πουθενά

Γωνία απ' το πουθενά

Re: Γωνία απ' το πουθενά

Re: Γωνία απ' το πουθενά

Re: Γωνία απ' το πουθενά

Re: Γωνία απ' το πουθενά

Re: Γωνία απ' το πουθενά

Re: Γωνία απ' το πουθενά

Μέλη σε σύνδεση