Ένα άθροισμα

Tolaso J Kos · #1

Δεν είμαι σίγουρος για το φάκελο....

Να υπολογιστεί το άθροισμα:

$\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{k=1}^{60} \sum_{n=1}^{k} \frac{n^2}{61-2n}}$

#2

Έχουμε ένα όρο για κάθε ζεύγος ακεραίων (k,n)

που ικανοποιεί $1 \leqslant n \leqslant k \leqslant 60$

Αλλάζοντας την σειρά παίρνουμε:

$\displaystyle \begin{aligned}S &= \sum_{n=1}^{60} \sum_{k=n}^{60} \frac{n^2}{61-2n} \\ & = \sum_{n=1}^{60} \frac{n^2(61-n)}{61-2n} \\ &= \sum_{n=1}^{30} \frac{n^2(61-n)}{61-2n} + \sum_{n=31}^{60} \frac{n^2(61-n)}{61-2n} \\ &= \sum_{n=1}^{30} \frac{n^2(61-n)}{61-2n} + \sum_{n=1}^{30} \frac{(61-n)^2n}{61-2(61-n)} \\ &= \sum_{n=1}^{30} \frac{n^2(61-n)}{61-2n} - \sum_{n=1}^{30} \frac{(61-n)^2n}{61-2n} \\ &= -\sum_{n=1}^{30} n(61-n) \\ &= -\sum_{n=1}^{30} \frac{(n+(61-n))^2 - n^2 - (61-n)^2}{2} \\ &= -15 \cdot 61^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{60} n^2 \\ &= -15 \cdot 61^2 + \frac{60 \cdot 61 \cdot 121}{12} \\ &= 5 \cdot 61 (-3\cdot 61 + 121) \\ &= -5\cdot 61 \cdot 62 \\ & = -18910 \end{aligned}$

Tolaso J Kos · #3

Στο ίδιο μήκος κύματος με το Δημήτρη....

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{k=1}^{60} \sum_{n=1}^{k} \frac{n^2}{61-2n} &=\sum_{n=1}^{60} \sum_{k=n}^{60} \frac{n^2}{61-2n} \\ &=\sum_{n=1}^{60} \frac{n^2 \left ( 61-n \right )}{61-2n} \\ &=\sum_{n=1}^{30} \left ( \frac{n^2 \left ( 61-n \right )}{61-2n} + \frac{\left ( 61-n \right )^2 \left ( 61-\left ( 61-n \right ) \right )}{61-2\left ( 61-n \right )} \right ) \\ &=\sum_{n=1}^{30} \frac{n^2 \left ( 61-n \right ) - n \left ( 61-n \right )^2}{61-2n}\\ &=\sum_{n=1}^{30} \frac{n \left ( 61-n \right )\left ( n- \left ( 61-n \right ) \right )}{61-2n} \\ &=- \sum_{n=1}^{30} n \left ( 61-n \right ) \\ &= \sum_{n=1}^{30} \left ( n^2-61 n \right ) \\ &= -18910 \end{aligned}}$
διότι

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6} \quad \text{\gr και} \quad \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}}$

Ένα άθροισμα

Ένα άθροισμα

Re: Ένα άθροισμα

Re: Ένα άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση