Έγκεντρο ορθογωνίου τριγώνου

KARKAR · #1

: έγκεντρο ορθογωνίου τριγώνου.png (16.2 KiB) Προβλήθηκε 524 φορές

Το σημείο

είναι το έγκεντρο του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Ο κύκλος (E,EA)

τέμνει την υποτείνουσα

στο

(πλησίον του

) και την πλευρά

στο

.

α) Δείξτε ότι $NM \parallel CE$ ... β) Βρείτε την $\tan\hat{B}$ αν το

είναι το μέσο της

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 24, 2018 12:28 pm
έγκεντρο ορθογωνίου τριγώνου.pngΤο σημείο είναι το έγκεντρο του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Ο κύκλος

τέμνει την υποτείνουσα στο (πλησίον του ) και την πλευρά στο .

α) Δείξτε ότι $NM \parallel CE$ ... β) Βρείτε την $\tan\hat{B}$ αν το είναι το μέσο της .

: Έγκεντρο ορθογωνίου τριγώνου.png (18.75 KiB) Προβλήθηκε 505 φορές

α) Τα αμβλυγώνια τρίγωνα CPE, CNE

είναι ίσα, άρα $\displaystyle C\widehat EP = \varphi .$ Αλλά, $\displaystyle P\widehat EN = 2\omega \Leftrightarrow \varphi = \omega \Leftrightarrow$ $\boxed{NM \parallel CE}$

β) $\displaystyle CN = CP \Rightarrow NT = PA = AM = MB = BT = \frac{c}{2}$ και αν CP=CN=x,

τότε $\displaystyle b = \frac{c}{2} + x,a = c + x$

και με Πυθαγόρειο, $\displaystyle {(c + x)^2} = {\left( {\frac{c}{2} + x} \right)^2} + {c^2} \Leftrightarrow x = \frac{c}{4}.$ Άρα, $\displaystyle \tan B = \frac{b}{c} = \frac{{\frac{c}{2} + \frac{c}{4}}}{c} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan B = \frac{3}{4}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 24, 2018 12:28 pm
έγκεντρο ορθογωνίου τριγώνου.pngΤο σημείο είναι το έγκεντρο του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Ο κύκλος

τέμνει την υποτείνουσα στο (πλησίον του ) και την πλευρά στο .

α) Δείξτε ότι $NM \parallel CE$ ... β) Βρείτε την $\tan\hat{B}$ αν το είναι το μέσο της .

1.Είναι, $\displaystyle EK = EL \Rightarrow HA = NP \Rightarrow HNPA$ ισοσκελές τραπέζιο ,άρα $\displaystyle CE \bot AP \Rightarrow CE \bot HN$

Αλλά , $\displaystyle HEM$ διάμετρος $\displaystyle \Rightarrow MN \bot HN$ .Άρα, $\displaystyle NM//CE$

2.Το $\displaystyle ESM$ είναι ισοσκελές ορθογώνιο και με $\displaystyle M$ μέσο της $\displaystyle AB$ είναι $\displaystyle BS = 3SM = 3ES \Rightarrow \tan x = \frac{{ES}}{{BS}} = \frac{1}{3}$

Τέλος ,από την $\displaystyle \tan B = \tan 2x = \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}}$ παίρνουμε $\displaystyle \boxed{\tan B = \frac{3}{4}}$

: e.o.t.png (185.54 KiB) Προβλήθηκε 460 φορές

Έγκεντρο ορθογωνίου τριγώνου

Έγκεντρο ορθογωνίου τριγώνου

Re: Έγκεντρο ορθογωνίου τριγώνου

Re: Έγκεντρο ορθογωνίου τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση