Μενέλαος ο νεότερος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11633
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μενέλαος ο νεότερος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:33 pm

Μενέλαος  ο  νεότερος.png
Μενέλαος ο νεότερος.png (10.33 KiB) Προβλήθηκε 579 φορές
Το G είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου \displaystyle ABC . Από σημείο S της προέκτασης

της CB , φέρουμε την ευθεία SG , η οποία τέμνει τις AB,AC στα σημεία

P,T αντίστοιχα . Αν SP=12 , PG=4 , υπολογίστε το τμήμα GT .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7205
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μενέλαος ο νεότερος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:33 pm

Εφαρμόζω το Θ Μενελάου τρεις φορές :

Μενέλαος  ο Νεώτερος.png
Μενέλαος ο Νεώτερος.png (20.23 KiB) Προβλήθηκε 548 φορές
1. Στο \vartriangle SMG με τέμνουσα την \overline {APB} και έχω : 2MB = BS\,\,(1)

2. Στο \vartriangle PSB με τέμνουσα την \overline {AGM} που λόγω της (1) δίδει \boxed{\frac{{BA}}{{AP}} = \frac{4}{3}} (2)

3. Στο \vartriangle SMG με τέμνουσα την \overline {ATC} που λόγω των (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) δίδει \boxed{x = \frac{{16}}{5}}.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9357
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μενέλαος ο νεότερος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 23, 2018 9:56 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:33 pm
Μενέλαος ο νεότερος.pngΤο G είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου \displaystyle ABC . Από σημείο S της προέκτασης

της CB , φέρουμε την ευθεία SG , η οποία τέμνει τις AB,AC στα σημεία

P,T αντίστοιχα . Αν SP=12 , PG=4 , υπολογίστε το τμήμα GT .
Λέω να μη χρησιμοποιήσω καθόλου Μενέλαο. Φέρνω από το G την NL||BC όπως φαίνεται στο σχήμα.
Χωρίς Μενέλαο..png
Χωρίς Μενέλαο..png (12.63 KiB) Προβλήθηκε 517 φορές
\displaystyle \frac{{NG}}{{BS}} = \frac{1}{3}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{NG = GL} NL = \frac{2}{3}BS \Leftrightarrow \boxed{BC=BS} και \displaystyle \frac{{GT}}{{TS}} = \frac{{GL}}{{SC}} \Leftrightarrow \frac{x}{{x + 16}} = \frac{1}{6} \Leftrightarrow \boxed{x=\frac{16}{5}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1829
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Μενέλαος ο νεότερος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Νοέμ 23, 2018 10:11 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:33 pm
Μενέλαος ο νεότερος.pngΤο G είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου \displaystyle ABC . Από σημείο S της προέκτασης

της CB , φέρουμε την ευθεία SG , η οποία τέμνει τις AB,AC στα σημεία

P,T αντίστοιχα . Αν SP=12 , PG=4 , υπολογίστε το τμήμα GT .
και μια με εμβαδά..

\displaystyle \frac{{SB}}{{BM}} = \frac{{\left( {ASP} \right)}}{{\left( {APM} \right)}} = \frac{{3\left( {APG} \right)}}{{\frac{3}{2}\left( {APG} \right)}} = 2 \Rightarrow BG//AS \Rightarrow \boxed{\left( {ASG} \right) = \left( {ASB} \right) = \left( {ABC} \right)}

\displaystyle \frac{{AT}}{{TC}} = \frac{{\left( {ASG} \right)}}{{\left( {GSC} \right)}} = \frac{{\left( {ABC} \right)}}{{2\left( {GBC} \right)}} = \frac{{\left( {ABC} \right)}}{{2\frac{1}{3}\left( {ABC} \right)}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \boxed{\frac{{AT}}{{TC}} = \frac{3}{2}} \Rightarrow \boxed{\left( {ATM} \right) = \frac{3}{{10}}\left( {ABC} \right)}

\displaystyle \frac{{16}}{x} = \frac{{\left( {ASM} \right)}}{{\left( {ATM} \right)}} = \frac{{\frac{3}{2}\left( {ABC} \right)}}{{\frac{3}{{10}}\left( {ABC} \right)}} \Rightarrow \boxed{x = \frac{{16}}{5}}
m.o.n.png
m.o.n.png (12.67 KiB) Προβλήθηκε 515 φορές


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3273
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Μενέλαος ο νεότερος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Νοέμ 23, 2018 11:42 am

Καλημέρα από το σχολείο...κάτι παρεμφερές με το φίλο Γιώργο.
shape2.png
shape2.png (24.83 KiB) Προβλήθηκε 502 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1886
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Μενέλαος ο νεότερος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Νοέμ 23, 2018 8:49 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:33 pm
Μενέλαος ο νεότερος.pngΤο G είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου \displaystyle ABC . Από σημείο S της προέκτασης

της CB , φέρουμε την ευθεία SG , η οποία τέμνει τις AB,AC στα σημεία

P,T αντίστοιχα . Αν SP=12 , PG=4 , υπολογίστε το τμήμα GT .
Εστω ότι BO//PT//MI,SB=y,

Απο το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο STC με τέμνουσα AGM,

\dfrac{16}{x}.\dfrac{AT}{b}.\dfrac{a}{a+2y}=1,(1),

Στο τρίγωνο AMB με τέμνουσα APG,\dfrac{AP}{PB}=\dfrac{2y+a}{y},(*)

Ομοίως στο τρίγωνο

STC με τέμνουσα

APB,\dfrac{12}{4+x}.\dfrac{AT}{b}.\frac{a}{y}=1,(2), 

       (1),(2)\Rightarrow \dfrac{16(4+x)}{12x}.\dfrac{y}{a+2y}=1,(**)

MI//GT\Rightarrow \dfrac{MI}{x}=\dfrac{AM}{AG}\Leftrightarrow MI=\dfrac{3x}{2},BO=3x,

       \dfrac{PB} {PA}=\dfrac{2x-4}{4+x},(***),

(*),(***)\Rightarrow \dfrac{y}{2y+a}=\dfrac{2x-4}{x+4},, λόγω της (**)


Οποτε 8(4+x)(x-2)=3x(x+4)\Leftrightarrow x=\dfrac{16}{5}



Γιάννης
Συνημμένα
Μενέλαος ο νεότερος.png
Μενέλαος ο νεότερος.png (44.65 KiB) Προβλήθηκε 471 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11633
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μενέλαος ο νεότερος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Νοέμ 23, 2018 9:16 pm

Μενέλαος  ο  νεότερος.png
Μενέλαος ο νεότερος.png (10.98 KiB) Προβλήθηκε 467 φορές
Για να είμαι ειλικρινής , στη θέση του 12 , ήθελα να γράψω 8 , οπότε θα προέκυπτε x=3 .

Εν γένει πάντως , δείξτε ότι για : SP=s , PG=p , είναι : GT=x=\dfrac{p(s+p)}{s+2p}


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3273
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Μενέλαος ο νεότερος

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Νοέμ 24, 2018 8:45 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 23, 2018 9:16 pm
Για να είμαι ειλικρινής , στη θέση του 12 , ήθελα να γράψω 8 , οπότε θα προέκυπτε x=3 .

Εν γένει πάντως , δείξτε ότι για : SP=s , PG=p , είναι : GT=x=\dfrac{p(s+p)}{s+2p}
Θα ακολουθήσω την ίδια τεχνική με πιο πάνω, γράφοντάς την αναλυτικά.
shape.png
shape.png (16.45 KiB) Προβλήθηκε 428 φορές
Η παράλληλη από το A προς την SC τέμνει την ST στο K

Αφού  \triangleleft GAK\mathop  \sim \limits^{2:1}  \triangleleft GMS\,(1) θα είναι TK = 2s + 2p - x

Από  \triangleleft PAK \sim  \triangleleft PBS \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{SB}} = \dfrac{{PK}}{{PS}} = \dfrac{{2s + 3p}}{s}, οπότε αν θέσω AK = \left( {4s + 6p} \right)l θα είναι SB = 2sl

Από τη σχέση (1) και λόγω της διαμέσου AM θα είναι BM = MC = 3pl

Τέλος, από  \triangleleft TAK \sim  \triangleleft TCS \Rightarrow \dfrac{{2s + 2p - x}}{{x + p + s}} = \dfrac{{4s + 6p}}{{2s + 6p}} \Leftrightarrow x = \dfrac{{p(s + p)}}{{s + 2p}}


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9357
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μενέλαος ο νεότερος

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 24, 2018 9:29 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 23, 2018 9:16 pm
Μενέλαος ο νεότερος.png Για να είμαι ειλικρινής , στη θέση του 12 , ήθελα να γράψω 8 , οπότε θα προέκυπτε x=3 .

Εν γένει πάντως , δείξτε ότι για : SP=s , PG=p , είναι : GT=x=\dfrac{p(s+p)}{s+2p}
Όπως και στην προηγούμενή μου ανάρτηση.
Χωρίς Μενέλαο.β.png
Χωρίς Μενέλαο.β.png (12.63 KiB) Προβλήθηκε 420 φορές
\displaystyle \frac{{NG}}{{BS}} = \frac{p}{s} \Leftrightarrow BS = \frac{s}{p}NG = \frac{s}{p}GL και \displaystyle BC = 3GL \Rightarrow SC = \frac{{s + 3p}}{p}GL

Άρα, \displaystyle \frac{{GL}}{{SC}} = \frac{p}{{s + 3p}} \Leftrightarrow \frac{x}{{x + p+ s }} = \frac{p}{{s + 3p}} \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{{p(s + p)}}{{s + 2p}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες