Καθετότητα για όλα τα γούστα
Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis
Καθετότητα για όλα τα γούστα
Στο ορθογώνιο τρίγωνο θεωρώ το μέσο του και το μέσο του .
Η κάθετη από το στην υποτείνουσα τέμνει την ευθεία στο σημείο .
Δείξετε ότι .
Δεκτές λύσεις ανεξαρτήτως φακέλου
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Καθετότητα για όλα τα γούστα
Υπάρχουν λύσεις με συνθετική Γεωμετρία αλλά γράφω μία με Αναλυτική γιατί το ζητούμενο είναι άμεσο: Με κέντρο αξόνων το , και άξονα των την . Είναι . H έχει κλίση , άρα η κάθετή της είναι η οπότε το είναι το . Έτσι η έχει κλίση και η έχει από όπου η ζητούμενη καθετότητα.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Καθετότητα για όλα τα γούστα
Έστω οι ορθές προβολές των στην αντίστοιχα. Έχουμε:
Από τη σχέση (1) σύμφωνα με το Stathis Koutras’ Theorem θα είναι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
τελευταία επεξεργασία από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ σε Τετ Νοέμ 21, 2018 11:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Καθετότητα για όλα τα γούστα
Με το σημείο τομής της εκ του καθέτου στην με την προκύπτει (από τα μέσα) ότι το μέσο της οπότε και προφανώς το ορθόκεντρο του τριγώνου οπότε
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Καθετότητα για όλα τα γούστα
Με το σημείο τομής της εκ του καθέτου στην με την το μέσο της . Τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι προφανώς όμοια οπότε για τις ομόλογες διαμέσους τους θα ισχύει :
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Καθετότητα για όλα τα γούστα
Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο , όπου το ίχνος της καθέτου από το στην , έχουμε διαδοχικά
(1)
Επίσης έχουμε λόγω της (1).
Άρα η ευθεία είναι εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου . Από το θεώρημα χορδής και εφαπτομένης έχουμε .
Επομένως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και αφού , θα είναι και .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Καθετότητα για όλα τα γούστα
Καλημέρα σε όλους. Μια γεωμετρική προσπάθεια, δίχως καμία βοηθητική.
Έστω το σημείο τομής .
Από την ομοιότητα είναι
Από την ομοιότητα είναι , αφού είναι .
Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη και απλοποιούμε, οπότε έχουμε και η καθετότητα των προκύπτει άμεσα.
Έστω το σημείο τομής .
Από την ομοιότητα είναι
Από την ομοιότητα είναι , αφού είναι .
Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη και απλοποιούμε, οπότε έχουμε και η καθετότητα των προκύπτει άμεσα.
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3536
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Καθετότητα για όλα τα γούστα
Μετά τις θαυμάσιες λύσεις άλλη μια για να ευχηθώ «Βίον ανθόσπαρτο και καλούς απογόνους» στη μεγάλη κόρη του φίλου Νίκου Φραγκάκη. Με και σχηματίζονται:
Το παραλληλόγραμμο , το ισοσκελές , το εγγράψιμο
Από την ισότητα των "πράσινων" γωνιών σχηματίζεται το εγγράψιμο και το ζητούμενο έπεται!
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Καθετότητα για όλα τα γούστα
Καλημέρα. Με τις καλύτερες ευχές για την ευρύτερη οικογένεια του Νίκου Φραγκάκη !
Ελαφρώς διαφορετική , με ύλη Γυμνασίου. Αν θεωρήσουμε (μονάδα μέτρησης) ενώ , με βοηθό και το σχήμα τότε . Από τα όμοια προκύπτει και .
Με το Πυθαγόρειο παίρνουμε και
Έτσι έχουμε άρα .
Φιλικά , Γιώργος.
Ελαφρώς διαφορετική , με ύλη Γυμνασίου. Αν θεωρήσουμε (μονάδα μέτρησης) ενώ , με βοηθό και το σχήμα τότε . Από τα όμοια προκύπτει και .
Με το Πυθαγόρειο παίρνουμε και
Έτσι έχουμε άρα .
Φιλικά , Γιώργος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες