ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Λόγω κόπωσης και μιας κάποιας ταλαιπωρίας της υγείας μου τις τελευταίες μέρες, (αλλαγή καιρού, είναι και η ηλικία όπως λέμε Αλέξανδρε) και αφού πέρασε το διαδικαστικό κομμάτι του διαγωνισμού, κατάφερα αργά απόψε να δω αναλυτικά τα σημερινά θέματα.
Δυό κουβέντες για τα θέματα:
Σαν σύνολο τα βλέπω εξαιρετικά, ιδίως αυτό με τα ψηφία στις δύο μεγαλύτερες τάξεις, αλλά και οι γεωμετρίες.Από τα καλύτερα των τελευταίων ετών αν και λίγο ανεβασμένα για την προσπάθεια προσέλκυσης περισσότερων μαθητών ειδικά στο Λύκειο.
Ομολογώ οτι κάποια με δυσκόλεψαν αρκετά, όπως το 3 της Α, το 2 της Β και το σύστημα της Γ. Θεωρώ ότι στις δύο μεγάλες τάξεις θα βρούμε λίγους νε 2+ θέματα.
Επειδή πάντα αντιμετωπίζω τα θέματα κάτω από το πρίσμα του μαθητή, έχω μία ένσταση για το 3 της Α. Από που προκύπτει ότι οι παρονομαστές στο Β είναι 2,4,5,7,8,10,11,13,14,...,95,97,98,100, δηλαδή χωρίς τα πολλαπλάσια του 3 και όχι 2,4,5,7,8,10,12,14,15,17,18.20,...,95,97,98,100, δηλαδή με ίδιο αριθμό μονάδων. Δεν γνωρίζω αν ζητήθηκε κάποια διευκρίνηση σε κάποιο εξεταστικό κέντρο, εδώ στο Ηράκλειο πάντως όχι.
Συνοψίζοντας να πω αλλά και να παροτρύνω μαθητές αλλά και καθηγητές να ασχολούνται με αυτά, καθώς η ενασχόληση με τέτοιου ρίδους θέματα, είτε από την πλευρά του καθηγητή είτε φυσικά του μαθητή, σε κάνει κατά τι σοφότερο και αυτό το αντιλαμβάνομαι κάθε φορά που ασχολούμαι με αυτά. Συγχαρητήρια στην Επιτροπή που τα επέλεξε.

[achilleas]

Καλημέρα!

Παρουσιάζουμε ένα διαφορετικό τρόπο για το

ΘΕΜΑ 2-Β ΛΥΚΕΙΟΥ

από αυτόν που δημοσιεύσαμε εδώ.

Παρατηρούμε ότι για κάθε .

Έτσι, , , και για κάποια με



Οπότε



Η ισότητα λαμβάνεται εύκολα για την τετράδα .

Φιλικά,

Αχιλλέας

[achilleas]

Μετά τον παραπάνω τρόπο παρουσιάζουμε ακόμα έναν αναλυτικό-γεωμετρικό.

ΘΕΜΑ 2-Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Τα σημεία και θα ανήκουν στο τριγωνικό χωρίο με κορυφές , και , αφού , και

Ας θεωρήσουμε ότι το ανήκει στην ευθεία , όπου . Η ευθεία αυτή τέμνει τις πλευρές και του τριγώνου στα σημεία και , αντίστοιχα.

Αφού , το θα ανήκει στην παράλληλη αυτής ευθεία που τέμνει τις πλευρές και του τριγώνου στα σημεία και , αντίστοιχα.

Αφού τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή, και τα σημεία και ανήκουν στις βάσεις τους, έχουμε



και

.

Συνεπώς,



αφού από παίρνουμε , κι άρα .

Η ισότητα λαμβάνεται όταν ή δηλαδή, όταν τα σημεία και ταυτίζονται με τις κορυφές και ή και

Φιλικά,

Αχιλλέας

[Prødigy]

Θα μπορούσε κάποιος να ανεβάσει το σχέδιο βαθμολόγησης;

[achilleas]

Λόγω κόπωσης και μιας κάποιας ταλαιπωρίας της υγείας μου τις τελευταίες μέρες, (αλλαγή καιρού, είναι και η ηλικία όπως λέμε Αλέξανδρε) και αφού πέρασε το διαδικαστικό κομμάτι του διαγωνισμού, κατάφερα αργά απόψε να δω αναλυτικά τα σημερινά θέματα.
Δυό κουβέντες για τα θέματα:
Σαν σύνολο τα βλέπω εξαιρετικά, ιδίως αυτό με τα ψηφία στις δύο μεγαλύτερες τάξεις, αλλά και οι γεωμετρίες.Από τα καλύτερα των τελευταίων ετών αν και λίγο ανεβασμένα για την προσπάθεια προσέλκυσης περισσότερων μαθητών ειδικά στο Λύκειο.
Ομολογώ οτι κάποια με δυσκόλεψαν αρκετά, όπως το 3 της Α, το 2 της Β και το σύστημα της Γ. Θεωρώ ότι στις δύο μεγάλες τάξεις θα βρούμε λίγους νε 2+ θέματα.
Επειδή πάντα αντιμετωπίζω τα θέματα κάτω από το πρίσμα του μαθητή, έχω μία ένσταση για το 3 της Α. Από που προκύπτει ότι οι παρονομαστές στο Β είναι 2,4,5,7,8,10,11,13,14,...,95,97,98,100, δηλαδή χωρίς τα πολλαπλάσια του 3 και όχι 2,4,5,7,8,10,12,14,15,17,18.20,...,95,97,98,100, δηλαδή με ίδιο αριθμό μονάδων. Δεν γνωρίζω αν ζητήθηκε κάποια διευκρίνηση σε κάποιο εξεταστικό κέντρο, εδώ στο Ηράκλειο πάντως όχι.
Συνοψίζοντας να πω αλλά και να παροτρύνω μαθητές αλλά και καθηγητές να ασχολούνται με αυτά, καθώς η ενασχόληση με τέτοιου ρίδους θέματα, είτε από την πλευρά του καθηγητή είτε φυσικά του μαθητή, σε κάνει κατά τι σοφότερο και αυτό το αντιλαμβάνομαι κάθε φορά που ασχολούμαι με αυτά. Συγχαρητήρια στην Επιτροπή που τα επέλεξε.

Καλησπέρα, Ανδρέα,

Από την χθεσινή πρωινή ενασχόληση μου με τα θέματα, θα έλεγα ότι μου άφησαν κι εμένα θετική εντύπωση.

Πιο πολύ μου άρεσαν τα θέματα της Β Λυκείου. Το 1ο θέμα της Γ θα δυσκόλεψε κάποιους (μετά το περσινό 1ο θέμα της Β).

Το θέμα με το άθροισμα των ψηφίων είναι πράγματι ωραίο κι έχει τεθεί στην πιο γενική μορφή ν-ψήφιου αριθμού το 1999 σε Ρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα σύμφωνα με το T.Andreescu, D. Andrica, Number Theory, Birkhauser, σελ. 80.

Υπάρχει και στο Mathematical Olympiads, Problems and Solutions from Around the World 1999-2000, T.Andreescu, D.Andrica, σελ. 152, MAA, 2002. Δείτε κι εδώ, πρόβλημα 1 ή εδώ.

Άντε να το θυμάται κάποιος, όμως, το πρωί που αντιμετωπίζει τα θέματα. Προσωπικά, "είδα" τι γίνεται μετά από 2-3 παραδείγματα που δοκίμασα.

Σου αφιερώνω τις παραπάνω λύσεις στο 2ο θέμα της Β με ευχές για γρήγορα περαστικά.

Φιλικά,

Αχιλλέας

[Γρηγόρης Σταμέλος]

Στις επισιμες λύσεις στο 3 θέμα της γ γυμνασίου έχει στο α την τιμή 6 η οποία δεν επαληθεύει

[S.E.Louridas]

Για το θέμα 1 της Β’ Λυκείου αλλά και το θέμα 1 της Α’ Λυκείου έχουμε τη κλασική μέθοδο επειδή βέβαια έχουμε ομογένεια των πολυωνύμων κτλ. γνωστά.

Δηλαδή αρκεί να θεωρήσουμε την κλασική αντικατάσταση και αφού από την υπόθεση βρούμε το να αντικαταστήσουμε και να βρούμε το …. oτιδήποτε.

[Katerina2004]

Γεια σας μέλη του mathematica!
Χθες συμμετείχα στον διαγωνισμό του Θαλή
(Γ Γυμνασίου) και έχω μερικές ερωτησούλες!
Έλυσα σωστά τα θέματα 1,2 και από το 4 τα υποερωτηματα α,β και στο γ έγραψα μόνο ότι το τρίγωνο ήταν ισοσκελές και οι γωνίες Ε και Γ ίσες!Στο 3 έβαλα μόνο τους περιορισμούς!
Στο 3 και το 4γ θα πάρω πόντους?
Πιστεύετε πώς θα περάσω?
Σας παρακαλώ απαντήστε μου έστω και με χοντρικές εκτιμήσεις γιατί έχω αγχωθεί πολύ!
Καλά αποτελέσματα σε όλους!

[Katerina2004]

Σας παρακαλώ δώστε μου μία απάντηση.Ή τουλάχιστον πείτε μου που βρίσκονται οι βάσεις τα προηγούμενα χρόνια για να έχω μία εικόνα.Ισχύει ότι με 2.5 θέματα περνάς;

[achilleas]

Σας παρακαλώ δώστε μου μία απάντηση.Ή τουλάχιστον πείτε μου που βρίσκονται οι βάσεις τα προηγούμενα χρόνια για να έχω μία εικόνα.Ισχύει ότι με 2.5 θέματα περνάς;

Καλησπέρα!

Κανείς δεν μπορεί να σου πει με σιγουριά ούτε ότι περνάς ούτε ότι δεν περνάς.

Το καλύτερο που έχεις να κάνεις είναι να συνεχίσεις να ασχολείσαι με τα μαθηματικά, σαν να έχεις επιτύχει ήδη.

Στο forum θα βρεις πολλές όμορφες ασκήσεις με τις οποίες μπορείς να ασχοληθείς στη συνέχεια.

Καλά αποτελέσματα!

Φιλικά,

Αχιλλέας

[Katerina2004]

Σας παρακαλώ δώστε μου μία απάντηση.Ή τουλάχιστον πείτε μου που βρίσκονται οι βάσεις τα προηγούμενα χρόνια για να έχω μία εικόνα.Ισχύει ότι με 2.5 θέματα περνάς;

Καλησπέρα!

Κανείς δεν μπορεί να σου πει με σιγουριά ούτε ότι περνάς ούτε ότι δεν περνάς.

Το καλύτερο που έχεις να κάνεις είναι να συνεχίσεις να ασχολείσαι με τα μαθηματικά, σαν να έχεις επιτύχει ήδη.

Στο forum θα βρεις πολλές όμορφες ασκήσεις με τις οποίες μπορείς να ασχοληθείς στη συνέχεια.

Καλά αποτελέσματα!

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση!Μπορείτε αν έχετε την καλοσύνη να μου πείτε αν θα μαζέψω πόντους από τα θέματα 3 και 4γ;
Μπορείτε να μου πείτε που βρίσκονται αυτές οι ασκήσεις γιατί είμαι καινούργιο μέλος;
Συνήθως οι βάσεις που βρίσκονται;Ξεπερνούν τα 2.5 θέματα;
Ευχαριστω

[S.E.Louridas]

Για το 3ο θέμα της Α’ Λυκείου έχουμε:






edit: Μετά από υπόδειξη του Παύλου Μαραγκουδάκη που τον ευχαριστώ, διόρθωσα ένα λάθος υπολογισμό στο τέλος. Εδώ εφάρμοσα την γνωστή ανισότητα ΑΜ-ΗΜ.

[xristos.t]

Γεια σας , είμαι απελπισμένος .
Έραψα γύρω στο 8 στον Θαλή της Α' λυκείου και πάω να τρελαθώ .
Πείτε μου , έχω ελπίδες για διάκριση ?
Έχω χάσει τον ύπνο και την όρεξη μου .

[TheMathFreak]

Γεια σας!
Είμαι μαθητής της Β Λυκείου και έχω μια ερώτηση για το 3ο Θέμα:
Από τη στιγμή που για τον τετραψήφιο θετικό ακέραιο ισχύει οτι , δεν μπορούμε να πούμε πώς το άθροισμα των ψηφίων του είναι
μεγαλύτερο ή ίσο του δέκα?(αφού η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο είναι ίση με ) και αντίστοιχα μικρότερο ή ίσο του ? (πχ ο τετραψήφιος με άθροισμα ψηφίων ίσο με ).Όσον αφορά τον πενταψήφιο αριθμό , η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει θα είναι ,και η μέγιστη
(μιας και το άθροισμα των ψηφίων του υπερβαίνει το ).Από τα παραπάνω βρήκα πως το άθροισμα των ψηφίων του θα είναι μεταξύ και . Είδα όμως πως η επίσημη απάντηση είναι . Γιατί έτσι?
Η κάθε απάντηση θα βοηθούσε.

[Τσιαλας Νικολαος]

Φίλε Χρήστο μην αγχώνεσαι! Κανείς δεν μπορεί να σου πει τις πιθανότητες! Ομολογουμένως τα παιδιά τα βρήκαν σκούρα φέτος! Προσωπική μου άποψη είναι πως έχεις ελπιδες. Ανεξαρτήτως όμως αποτελέσματος συνέχισε να ασχολείσαι με τα μαθηματικά και θα είσαι κερδισμενος!

[achilleas]

Γεια σας!
Είμαι μαθητής της Β Λυκείου και έχω μια ερώτηση για το 3ο Θέμα:
Από τη στιγμή που για τον τετραψήφιο θετικό ακέραιο Α ισχύει οτι α0>α1>α2>α3>0,δεν μπορούμε να πούμε πώς το άθροισμα των ψηφίων του είναι
μεγαλύτερο ή ίσο του δέκα?(αφού η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο α3 είναι ίση με 1) και αντίστοιχα μικρότερο ή ίσο του 30?(πχ ο τετραψήφιος 6789 με άθροισμα ψηφίων ίσο με 30).Όσον αφορά τον πενταψήφιο αριθμό 9Α, η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει θα είναι 12.345,και η μέγιστη
45.678 (μιας και το άθροισμα των ψηφίων του 56.789 υπερβαίνει το 30).Από τα παραπάνω βρήκα πως το άθροισμα των ψηφίων του 9Α θα είναι μεταξύ 15 και 30.Είδα όμως πως η επίσημη απάντηση είναι 9.Γιατί έτσι?
Η κάθε απάντηση θα βοηθούσε.

Πάρε οποιοδήποτε 4-ψηφιο αριθμό που ικανοποιεί την συνθήκη και πολλαπλασίασε τον με το 9. Βρες τον αριθμό και άθροισε τα ψηφία του.

π.χ. και

Αν δοκιμάσεις δύο-τρία παραδείγματα, θα δεις ότι παίρνεις πάντοτε το ίδιο αποτέλεσμα. Μετά δες την επίσημη λύση ή τη λύση εδώ που θα είναι πιο κατανοητές.

Το λάθος σου είναι ότι θεωρείς ότι και ο αριθμός θα ικανοποιεί τη συνθήκη τα ψηφία του να είναι σε αύξουσα διάταξη (από τα αριστερά στα δεξιά). Τα παραπάνω παραδείγματα καταδεικνύουν ότι δεν είναι έτσι. Παρεμπιπτόντως, οι αριθμοί 12345 και 45678 δεν είναι καν πολ/σια του 9.

Φιλικά,

Αχιλλέας

[xristos.t]

Ευχαριστώ για τα καλά σας λόγια . Παραμένω όμως ανήσυχος . Αυτός ο διαγωνισμός ήταν πολύ σημαντικός για εμένα .
Πως αξιολογείτε τον βαθμό δυσκολίας των θεμάτων ?

[achilleas]

Ευχαριστώ για τα καλά σας λόγια . Παραμένω όμως ανήσυχος . Αυτός ο διαγωνισμός ήταν πολύ σημαντικός για εμένα .
Πως αξιολογείτε τον βαθμό δυσκολίας των θεμάτων ?

Χρήστο,

Ελπίζω να σε βοηθήσει να ησυχάσεις αν μάθεις ότι κι εμείς που γράφουμε στο forum έχουμε αποτύχει κατ' επανάληψη σε πολλούς διαγωνισμούς που ήταν πολύ σημαντικοί για εμάς!

Συνέχισε να ασχολείσαι με τα μαθηματικά με όρεξη και αγάπη σαν να έχεις επιτύχει ήδη!

Φιλικά,

Αχιλλέας

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Λίγα σχόλια για τα θέματα 2, 3 της Β Λυκείου:

Για το θέμα τα πράγματα διευκολύνονται πολύ θεωρώντας , , και .

Η συνθήκη γινόταν (αρκετά πιο οικεία) και ακόμη (αρκετά πιο διαχειρίσιμο)

Το γίνεται .

Για να μεγιστοποιηθεί το βλέπουμε πως ισχύει η ανισότητα , με ισότητα όταν τρεις από τους είναι και ο άλλος και μετά καταλήγουμε εύκολα στο συμπέρασμα με τα .

Για το θέμα 3:





Λόγω του ότι , έχουμε πως αυτά είναι τα ψηφία του και το άθροισμά τους είναι ίσο με .

[TheMathFreak]

Γεια σας!
Είμαι μαθητής της Β Λυκείου και έχω μια ερώτηση για το 3ο Θέμα:
Από τη στιγμή που για τον τετραψήφιο θετικό ακέραιο Α ισχύει οτι α0>α1>α2>α3>0,δεν μπορούμε να πούμε πώς το άθροισμα των ψηφίων του είναι
μεγαλύτερο ή ίσο του δέκα?(αφού η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο α3 είναι ίση με 1) και αντίστοιχα μικρότερο ή ίσο του 30?(πχ ο τετραψήφιος 6789 με άθροισμα ψηφίων ίσο με 30).Όσον αφορά τον πενταψήφιο αριθμό 9Α, η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει θα είναι 12.345,και η μέγιστη
45.678 (μιας και το άθροισμα των ψηφίων του 56.789 υπερβαίνει το 30).Από τα παραπάνω βρήκα πως το άθροισμα των ψηφίων του 9Α θα είναι μεταξύ 15 και 30.Είδα όμως πως η επίσημη απάντηση είναι 9.Γιατί έτσι?
Η κάθε απάντηση θα βοηθούσε.

Πάρε οποιοδήποτε 4-ψηφιο αριθμό που ικανοποιεί την συνθήκη και πολλαπλασίασε τον με το 9. Βρες τον αριθμό και άθροισε τα ψηφία του.

π.χ. και

Αν δοκιμάσεις δύο-τρία παραδείγματα, θα δεις ότι παίρνεις πάντοτε το ίδιο αποτέλεσμα. Μετά δες την επίσημη λύση ή τη λύση εδώ που θα είναι πιο κατανοητές.

Το λάθος σου είναι ότι θεωρείς ότι και ο αριθμός θα ικανοποιεί τη συνθήκη τα ψηφία του να είναι σε αύξουσα διάταξη (από τα αριστερά στα δεξιά). Τα παραπάνω παραδείγματα καταδεικνύουν ότι δεν είναι έτσι. Παρεμπιπτόντως, οι αριθμοί 12345 και 45678 δεν είναι καν πολ/σια του 9.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση! Όντως έκανα λάθος. Θα μπορούσα να πάρω κάποιο πόντο?(έφτασα μέχρι το σημείο που βρίσκω τους αριθμούς 11106 και 61101)