Κριτήριο ισοσκελούς 4

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9362
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κριτήριο ισοσκελούς 4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 10, 2018 6:50 pm

Έστω G το βαρύκεντρο τριγώνου ABC. Αν AB+GC=AC+GB να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1262
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Κριτήριο ισοσκελούς 4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Νοέμ 12, 2018 2:29 am

Καλή εβδομάδα σε όλους ! Γιώργο μια προσπάθεια :

Από το α' θεώρημα διαμέσων παίρνουμε 4\mu _{b}^{2}=2a^{2}+2c^{2}-b^{2} και 4\mu _{c}^{2}=2a^{2}+2b^{2}-c^{2} .

Με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει 4\left ( \mu _{b} -\mu _{c} \right )\left ( \mu _{b}+\mu _{c} \right )=3\left ( b-c \right )\left ( b+c \right ) ...(1) .

Ακόμη AB+GC=AC+GB \Leftrightarrow GC-GB=AC-AB\Leftrightarrow 2\left ( \mu _{c}-\mu _{b} \right )=3\left ( b-c \right ) ...(2).

Με αντικατάσταση του 3\left ( b-c \right ) η (1) γίνεται 2\left ( \mu _{b} -\mu _{c} \right )\left ( \mu _{b}+\mu _{c} \right )=\left ( \mu _{b} -\mu _{c} \right )\left ( b+c \right )..(3)

Έστω b \neq c τότε \left ( \mu _{b} -\mu _{c} \right ) \neq 0. Με διαγραφή η (3) γίνεται 2\left ( \mu _{b}+\mu _{c})=b+c..(4)

Όμως όπως μπορούμε να δούμε και στο σχήμα
Κριτήριο ισοσκελούς.PNG
Κριτήριο ισοσκελούς.PNG (4.32 KiB) Προβλήθηκε 273 φορές
Στο τρίγωνο ZAC είναι b < \mu _{c}+c/2 και στο ABE : c< \mu _{b}+b/2 
. Με πρόσθεση έχουμε τελικά b+c< 2\left ( \mu _{b}+\mu _{c} \right )

άρα η (4) δεν ισχύει , το ίδιο και η παραδοχή b \neq c . Συνεπώς b=c δηλ το \vartriangle ABC είναι ισοσκελές. Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες