ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

#1

Καλημέρα σε όλους και καλή επιτυχία στους μαθητές στο σημερινό διαγωνισμό "Ο ΘΑΛΗΣ",

Στη δημοσίευση αυτή θα βάλουμε τα θέματα και τις απαντήσεις του διαγωνισμού αμέσως μετά από τη λήξη του. Παρακαλώ να μη βάλουμε τα θέματα ή απαντήσεις πριν από τις 12:00 το μεσημέρι, ώρα λήξης του διαγωνισμού.

(* 12:26) Επισυνάπτω τα θέματα του διαγωνισμού
(** 16:37)Οι επίσημες λύσεις από την Ε.Μ.Ε. βρίσκονται στη δημοσίευση εδώ

Αλέξανδρος

#2

ΘΕΜΑ 1- Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Εύκολα βλέπουμε πως η δοθείσα εξίσωση γράφεται

$\displaystyle (x-1)(x-2)(x-5)=0$

κι άρα έχει λύσεις x=1

,

ή

, ενώ η ανίσωση γράφεται

$\displaystyle \dfrac{x^2-x-4}{2}<\dfrac{x^2-5x+12}{2}$

ή ισοδύναμα

$\displaystyle x^2-x-4<x^2-5x+12\iff 4x<16\iff x<4.$

Οι κοινές λύσεις λοιπόν είναι x=1

και

ΘΕΜΑ 2-Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Η δοθείσα γράφεται

$\displaystyle{a^4-5a^2b^2-36b^4=0}$

ή ισοδύναμα

$\displaystyle{(a^2-9b^2)(a^2+4b^2)=0}$

Αφού $a^2+4b^2\ne 0$ (διαφορετικά θα ήταν a=b=0

κι ο παρονομαστής στη δοθείσα σχέση θα ήταν

), έχουμε

$\displaystyle{(a-3b)(a+3b)=0}$

Έτσι, a=3b

ή

και οι τιμές της

είναι

$\displaystyle{K=\dfrac{3b-b}{3b+b}=\dfrac{2b}{4b}=\dfrac{1}{2}.}$

ή

$\displaystyle{K=\dfrac{-3b-b}{-3b+b}=\dfrac{-4b}{-2b}=2.}$

ΘΕΜΑ 3-Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{\dfrac{1}{3k-1}+\dfrac{1}{3k+1}=\dfrac{6k}{9k^2-1}>\dfrac{2}{3k}}$

για κάθε k=1,2,...

αφού η τελευταία γράφεται ισοδύναμα

$\displaystyle{18k^2>18k^2-2}$ ,

που ισχύει.

Συνεπώς, o αριθμός

, που είναι το άθροισμα των $\dfrac{1}{3k-1}+\dfrac{1}{3k+1}$ για k=1,2,...,33

είναι μεγαλύτερος από τον

που είναι το άθροισμα των $\dfrac{2}{3k}$ για k=1,2,...,33

.

Δηλαδή, B>A

.

ΘΕΜΑ 4-Α ΛΥΚΕΙΟΥ

(α) Από την υπόθεση τα $A,\Delta$ ισαπέχουν από τα άκρα του $B\Gamma$ . Συνεπώς, $A\Delta$ είναι μεσοκάθετος του $B\Gamma$ . Η διάμεσος ισοσκελές τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής, κι άρα $\Delta \widehat{A}\Gamma=15^\circ$ , κι αφού $\Gamma\widehat{A}E=45^\circ$ έχουμε

$\displaystyle \Delta\widehat{A}E=\Delta \widehat{A}\Gamma+\Gamma\widehat{A}E=15^\circ+45^\circ=60^\circ.$

Τα τρίγωνα $A\Gamma \Delta$ και $E\Gamma \Delta$ είναι ίσα από (ΠΓΠ), αφού

$\displaystyle A\widehat{\Gamma}\Delta=A\widehat{\Gamma}B+B\widehat{\Gamma}\Delta=75^\circ+60^\circ=135^\circ,$

και

$\displaystyle E\widehat{\Gamma} \Delta=360^\circ-A\widehat{\Gamma}E-A\widehat{\Gamma}\Delta=360^\circ-90^\circ-135^\circ=135^\circ=A\widehat{\Gamma}\Delta.$

Άρα το τρίγωνο $A\Delta E$ είναι ισοσκελές με μια γωνία $60^\circ$ , κι άρα ισόπλευρο.

(Αλλιώς, εύκολα βλέπουμε ότι $A\widehat{\Delta} E=60^\circ$ και $A\widehat{E}\Delta=60^\circ.$ )

(β) Από to (α) και την υπόθεση, η

είναι μεσοκάθετος του $A\Delta$ . Από τη σύγκριση στο (α), η $\Delta\Gamma$ είναι μεσοκάθετος της

. Άρα το σημείο τομής

των

και $\Delta\Gamma$ ισαπέχει από τις κορυφές του τριγώνου $A\Delta E$ , οπότε το τρίγωνο $AO\Delta$ είναι ισοσκελές. Για να δείξουμε ότι και η

διέρχεται από το

, αρκεί να δείξουμε ότι

$\displaystyle{\Delta \widehat{A}K=\Delta \widehat{A}O=A\widehat{\Delta}O=30^\circ}$

Παρατηρούμε** ότι το $AK\Delta B$ είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιοι του διχοτομούνται. Άρα

$\displaystyle{\Delta \widehat{A}K=B\widehat{\Delta}A,}$

ως εντός εναλλάξ. Αφού $B \widehat{\Delta}A=30^\circ$ , η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

(**Αλλιώς, εύκολα βλέπουμε ότι τα τρίγωνα MAK

και $M\Delta B$ είναι ίσα, κι άρα $M\widehat{A}K=B \widehat{\Delta}A=30^\circ.$ )

#3

ΘΕΜΑ 1-B ΛΥΚΕΙΟΥ

Η δοθείσα γράφεται

$\displaystyle{a^6-27b^6+26a^3b^3=0}$

ή ισοδύναμα

$\displaystyle{(a^3-b^3)(a^3+27b^3)=0}$

Έτσι, $a=b\ne 0$ ή $a=-3b\ne 0,$ οι οποίες γίνονται αποδεκτές αφού $a^6-27b^6\ne 0$ για αυτές. Συνεπώς, οι τιμές της

είναι
$\displaystyle{K=\dfrac{b^2-b^2}{b^2+b^2}=0}$

ή

$\displaystyle{K=\dfrac{(-3b)^2-b^2}{(-3b)^2+b^2}=\dfrac{8b^2}{10b^2}=\frac{4}{5}.}$

ΘΕΜΑ 2-B ΛΥΚΕΙΟΥ

Παρατηρούμε ότι η παράσταση μπορεί να λάβει την τιμή

$\displaystyle{x^2+y^2+z^2+w^2=1^2+1^2+1^3+5^2=28.}$

Θα δείξουμε ότι δεν μπορεί να λάβει μεγαλύτερη τιμή. Πράγματι, από την υπόθεση έχουμε $(a-1)(a-5)\leq 0$ για κάθε $a\in \{x,y,z,w\}$ . Συνεπώς,

$\displaystyle{a^2\leq 6a-5}$

για κάθε $a\in \{x,y,z,w\}$ .

Έτσι,

$\displaystyle{x^2+y^2+z^2+w^2\leq 6(x+y+z+w)-4\cdot 5=48-20=28.}$

ΘΕΜΑ 3-B ΛΥΚΕΙΟΥ

Είναι $\displaystyle{9A=10A-A=\overline{a_3a_2a_1a_00}-\overline{a_3a_2a_1a_0}}$

Αφού a_0>a_1

είναι $a_0\geq a_1+1$ , κι αφού a_1>a_2>a_3

, κάνοντας την αφαίρεση παίρνουμε τον αριθμό

$\displaystyle{\overline{a_3(a_2-a_3) (a_1-a_2)(a_0-a_1-1)(10-a_0)}}$

με άθροισμα ψηφίων

ΘΕΜΑ 4-B ΛΥΚΕΙΟΥ

(a) Το τετράπλευρο $A\Delta OE$ είναι ισοσκελές τραπέζιο, εγγράψιομο σε κύκλο, Αφού $A\Delta=OE$ , $AO=O\Gamma=R$ και $\Delta\widehat{A}O=E\widehat{O}\Gamma$ τα τρίγωνα $OA\Delta$ και $O\Gamma E$ είναι ίσα από ΠΓΠ.

(β) Είναι $O\widehat{Z}E=O\widehat{A}E=O\widehat{\Gamma}E$ , $ZO=O\Gamma$ , $ZE=\Delta O=E\Gamma$ , από το ισοσκελές τραπέζιο $\Delta OEZ$ και το (α). Πράγματι, αφού $E\widehat{\Delta}Z=\Delta \widehat{Z}O$ τα αντίστοιχα τόξα είναι ίσα, κι άρα και οι χορδές είναι ίσες.

Το τρίγωνο AOZ

είναι ισοσκελές ( OA=OZ

) και $O\widehat{A}E=A\widehat{Z}\Delta$

( $E\widehat{\Delta}Z=E\widehat{A}Z=O\widehat{A}Z-O\widehat{A}E=O\widehat{Z}A-A\widehat{Z}\Delta=\Delta \widehat{Z}O$ )

Άρα τα τρίγωνα OZE

και $O\Gamma E$ είναι ίσα από ΠΓΠ.

(γ) Είναι $A\widehat{Z}H=A\widehat{\Gamma}H$ και $A\widehat{Z}H=A\widehat{Z}\Delta=A\widehat{O}\Delta=A\widehat{\Gamma}O$ .

Συνεπώς, $A\widehat{\Gamma}H=A\widehat{\Gamma}O$ , δηλ. τα $\Gamma, O, H$ είναι συνευθειακά.

Al.Koutsouridis · #4

Υπάρχουν κάπου τα θέματα;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Δεν καταλαβαίνω.
Μπορούμε να λύνουμε θέματα χωρίς να υπάρχουν εκφωνήσεις;

Al.Koutsouridis · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 10, 2018 12:20 pm
Δεν καταλαβαίνω.
Μπορούμε να λύνουμε θέματα χωρίς να υπάρχουν εκφωνήσεις;

Ακριβώς!

#7

Έβαλα μόλις τα θέματα του διαγωνισμού στην πρώτη δημοσίευση.

Αλέξανδρος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Επειδή μάλλον φαίνεται ότι δεν ξέρω τι μου γίνεται (λόγω των ωρών που εμφανίζονται στο site)
οι λύσεις των θεμάτων που έκανε ο Αχιλλέας παραπάνω έγιναν πριν αναρτηθούν τα θέματα.

#9

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 10, 2018 12:31 pm
Επειδή μάλλον φαίνεται ότι δεν ξέρω τι μου γίνεται (λόγω των ωρών που εμφανίζονται στο site)
οι λύσεις των θεμάτων που έκανε ο Αχιλλέας παραπάνω έγιναν πριν αναρτηθούν τα θέματα.

Σταύρο, τα θέματα είναι γνωστά από τις 10.

Απλά, επίσημα και ανά τάξη μπήκαν τώρα από τον Αλέξανδρο.

Καλό ΣΑβ/κο !

JimNt. · #10

Γ' Λυκείου

Η αρχική γράφεται (2x^2-x-6)^2=49x^2

Γ' Λυκείου

Προσθέτοντας κατά μέλη και λαμβάνοντας υπόψη ότι $3x^3 \ge x+2x^2$ , παίρνουμε την μοναδική (1,1,1)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

Θέμα 3 Γ-Λυκείου.
Ζητάει να λυθεί το σύστημα

$x+2y^{2}=3z^{3}$

$y+2z^{2}=3x^{3}$

$z+2x^{2}=3y^{3}$

στους θετικούς ακεραίους.

Προσθέτοντας παίρνουμε $(x+y+z)+2(x^{2}+y^2+z^2)=3 (x^3+y^3+z^3)$ (1)

Αλλά για κάθε θετικό ακέραιο είναι

$3x^{3}=2x^3+x^3\geq 2x^2+x$

με ισότητα αν και μόνο αν x=1

Ετσι από (1) παίρνουμε ότι x=y=z=1

Παρατήρηση.
Από το ότι είναι θετικοί ακέραιοι χρησιμοποιήσαμε το $x,y,z\geq 1$

#12

Μία λύση που δε χρησιμοποιεί ότι οι αριθμοί είναι ακέραιοι.

Λόγω κυκλικότητας του συστήματος μπορούμε να υποθέσουμε ότι $x=\max\{x,y,z\}$ .

Αν $x\geq y \geq z$ τότε αφαιρώντας τις πρώτες δύο εξισώσεις κατά μέλη παίρνουμε:

x-y+2(y-z)(y+z)=3(z-x)(z^2+zx+x^2)

και επειδή το πρώτο μέλος είναι $\geq 0$ και το δεύτερο $\leq 0$ , άρα τελικά πρέπει να είναι και τα δύο ίσα με

, απ' όπου x=y=z

.

Αν $x\geq z \geq y$ τότε αφαιρώντας τις δύο τελευταίες εξισώσεις κατά μέλη παίρνουμε:

y-z+2(z-x)(z+x)=3(x-y)(x^2+xy+y^2)

και επειδή το πρώτο μέλος είναι $\leq 0$ και το δεύτερο $\geq 0$ , άρα τελικά πρέπει να είναι και τα δύο ίσα με

, απ' όπου x=y=z

.

Απομένει να λύσουμε την εξίσωση 3x^3-2x^2-x=0

απ' όπου η μόνη θετική λύση είναι η x=1

. Άρα

.

Αλέξανδρος

Xriiiiistos · #13

Προσωπικά τα θέματα του Θαλή μου άρεσαν στην ηλικία μου. Ας δούμε και άλλη λύση

Θ. 2 Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΚΦΏΝΗΣΗ

Αν οι πραγματικοί αριθμοί x,y,z,w

είναι όλοι μεγαλύτεροι ή ίσοι του

και μικρότεροι ή ίσοι του

και επιπλέον ισχύει ότι x+y+z+w=8

, Να βρείτε τη μέγιστη δυνατή τιμή της παράστασης $A=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}$

ΛΥΣΗ

Από την ισότητα πέρνουμε $(z+w)^{2}=(8-x-y)^{2}\Leftrightarrow z^{2}+y^{2}=x^{2}+y^{2}+64-16x-16y+2xy-2zw$

Αρκεί να βρούμε την μέγιστη τιμή της $A=x^{2}+y^{2}+x^{2}+y^{2}+64-16x-16y+2xy-2zw=[(x+y)^{2}+(x-8)^{2}+(y-8)^{2}]_{=a}-64-2zw$

Τώρα όσο μικραίνουμε τα z,w

και αντίστοιχα όσο μεγαλώνουμε τα x,y

μεγαλώνουν όλο και περισσότερο τα -2zw,a

άρα μεγαλώνει και το

. Οπότε πέρνει μέγιστη τιμή για z=y=1

Τώρα αρκεί να βρούμε πότε μεγιστοποιείτε το a

Από την ισότητα πλέον πέρνουμε $x+y=6\Leftrightarrow y=6-x$ άρα το

γίνεται

$6^{2}+(x+2)^{2}+(x-8)^{2}$ τώρα όσο μεγαλώνει το

τόσο μεγαλώνει το

άρα και το

.
Μεγιστοποιείται όταν το

μεγιστοποιείται άρα x=5

και από την ισότητα που μας έδωσε y=1

Οπότε $A_{MAX}=5^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}=28$

(Πραφανώς θα μπορούσαμε να την πάμε διαφορετικά την άσκηση και να βγάζαμε άλλο γράμα ίσο με 5 και τα άλλα ίσο με 1)

Η ΛΥΣΗ ΑΥΤΗΝ ΕΙΝΑΙ ΛΑΘΟΣ

Xriiiiistos · #14

Στο θέμα 4ο της Β λυκείο στο ερώτημα γ μπορούμε να αποδείξουμε ότι $\widehat{\Gamma ZH}=90^{\circ}$ που χαρίς τα 2 προησούμενα ερωτήματά της αποδεικνύεται εύκολα με απλές μεταφορες γωνιών

JimNt. · #15

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 10, 2018 1:23 pm
Προσωπικά τα θέματα του Θαλή μου άρεσαν στην ηλικία μου. Ας δούμε και άλλη λύση

Θ. 2 Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΚΦΏΝΗΣΗ

Αν οι πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι μεγαλύτεροι ή ίσοι του και μικρότεροι ή ίσοι του και επιπλέον ισχύει ότι , Να βρείτε τη μέγιστη δυνατή τιμή της παράστασης $A=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}$

ΛΥΣΗ

Από την ισότητα πέρνουμε $(z+w)^{2}=(8-x-y)^{2}\Leftrightarrow z^{2}+y^{2}=x^{2}+y^{2}+64-16x-16y+2xy-2zw$

Αρκεί να βρούμε την μέγιστη τιμή της $A=x^{2}+y^{2}+x^{2}+y^{2}+64-16x-16y+2xy-2zw=[(x+y)^{2}+(x-8)^{2}+(y-8)^{2}]_{=a}-64-2zw$

Τώρα όσο μικραίνουμε τα και αντίστοιχα όσο μεγαλώνουμε τα μεγαλώνουν όλο και περισσότερο τα άρα μεγαλώνει και το . Οπότε πέρνει μέγιστη τιμή για

Τώρα αρκεί να βρούμε πότε μεγιστοποιείτε το a

Από την ισότητα πλέον πέρνουμε $x+y=6\Leftrightarrow y=6-x$ άρα το γίνεται

$6^{2}+(x+2)^{2}+(x-8)^{2}$ τώρα όσο μεγαλώνει το τόσο μεγαλώνει το άρα και το .
Μεγιστοποιείται όταν το μεγιστοποιείται άρα και από την ισότητα που μας έδωσε

Οπότε $A_{MAX}=5^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}=28$

(Πραφανώς θα μπορούσαμε να την πάμε διαφορετικά την άσκηση και να βγάζαμε άλλο γράμα ίσο με 5 και τα άλλα ίσο με 1)

Δεν ισχύει αυτό . Θα μπορούσε z=1

και

.

Xriiiiistos · #16

JimNt. έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 10, 2018 1:31 pm

Δεν ισχύει αυτό . Θα μπορούσε και .

Όμως τότε το -2zw

μικραίνει και το

θα μικρύνει άρα και το

σε σχέση με αυτό που είπα

#17

ΘΕΜΑ 3- Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Από τη δοθείσα παίρνουμε x^2-7x+6=x^2-(a+2)x+2a

, ή ισοδύναμα, 6-2a=(5-a)x.

Προφανώς, $a\ne 5$ οπότε $\displaystyle{x=\dfrac{6-2a}{5-a}=2-\dfrac{4}{5-a}}$ .

Άρα ο 5-a

θα είναι ακέραιος διαιρέτης του

, οπότε οι τιμές που μπορεί να πάρει $\pm 1, \pm 2, \pm 4.$

Αφού $x\ne {\color{red}{2}},6$ , βλέπουμε εύκολα ότι οι αποδεκτές τιμές του

είναι

, δηλ. εξαιρείται η a=6.

#18

Γ' Λυκείου-Πρόβλημα 1

Με λίγη φαντασία η δοθείσα εξίσωση γράφεται: $\displaystyle {x^2}({x^2} - 4x - 3) + 3x({x^2} - 4x - 3) - 3({x^2} - 4x - 3) = 0$

$\displaystyle ({x^2} - 4x - 3)({x^2} + 3x - 3) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt 7 \vee x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {21} }}{2}$

#19

ΘΕΜΑ 2-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Είναι $\displaystyle{9A=10A-A=\overline{a_4a_3a_2a_1a_00}-\overline{a_4a_3a_2a_1a_0}}$

Αφού a_0>a_1

είναι $a_0\geq a_1+1$ , κι αφού a_1>a_2>a_3>a_4

, κάνοντας την αφαίρεση παίρνουμε τον αριθμό

$\displaystyle{\overline{a_4(a_3-a_4)(a_2-a_3) (a_1-a_2)(a_0-a_1-1)(10-a_0)}}$

με άθροισμα ψηφίων

#20

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 10, 2018 1:57 pm
Γ' Λυκείου-Πρόβλημα 1

Με λίγη φαντασία η δοθείσα εξίσωση γράφεται: $\displaystyle {x^2}({x^2} - 4x - 3) + 3x({x^2} - 4x - 3) - 3({x^2} - 4x - 3) = 0$

$\displaystyle ({x^2} - 4x - 3)({x^2} + 3x - 3) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt 7 \vee x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {21} }}{2}$

Καλησπέρα Γιώργο! Χωρίς φαντασία, διαιρώντας με x^2

(το

δεν είναι λύση της εξίσωσης) και θέτοντας $x-\dfrac{3}{x}=y$ καταλήγουμε σε δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς

η οποία λύνεται πολύ απλά.

Αλέξανδρος

ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Μέλη σε σύνδεση