Από σταθερό σημείο

KARKAR · #1

: Από σταθερό σημείο.png (15.95 KiB) Προβλήθηκε 493 φορές

Ο κύκλος

εφάπτεται εσωτερικά του (O,R) , R<2r

, σε σημείο

. Μεταβλητή διάμετρος

του μεγάλου τέμνει τον μικρό κύκλο στα σημεία P,T

, ενώ οι

τέμνουν τον μεγάλο στα L,N

.

Α) Δείξτε ότι : $LN\parallel AB$ και Β) Δείξτε ότι η

διέρχεται από σταθερό σημείο .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 07, 2018 9:20 pm
Από σταθερό σημείο.pngΟ κύκλος εφάπτεται εσωτερικά του , σε σημείο . Μεταβλητή διάμετρος

του μεγάλου τέμνει τον μικρό κύκλο στα σημεία , ενώ οι τέμνουν τον μεγάλο στα .

Α) Δείξτε ότι : $LN\parallel AB$ και Β) Δείξτε ότι η διέρχεται από σταθερό σημείο .

Αν $M\equiv SKO\cap LN$ και η κοινή εξωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων (με στο ημιεπίπεδο $\left( SO,A \right)$ τότε:

$\angle STP\mathop = \limits^{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta - \upsilon \pi o\,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma } \angle xSP \equiv \angle xSL$ $\mathop = \limits^{\upsilon \pi o\,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma - \varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta } \angle SNL$ $\Rightarrow PT\parallel LN\mathop \Rightarrow \limits^{PT \equiv AB} AB\parallel LN$

Τα ισοσκελή τρίγωνα $\vartriangle KSP,\vartriangle OSL\mathop \Rightarrow \limits^{O,K,S\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \kappa \alpha } \vartriangle KSP \sim \vartriangle OSL \Rightarrow KP\parallel OL$

Από $OP\parallel ML \Rightarrow \dfrac{{SO}}{{SM}} = \dfrac{{SP}}{{SL}}\mathop = \limits^{KP\parallel OL} \dfrac{{KP}}{{OL}} =$ $\dfrac{r}{R} = ct \Rightarrow SM = \dfrac{{{R^2}}}{r} = ct \Rightarrow M$ σταθερό και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί

Στάθης

#3

Φέρνουμε την κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων. Η γωνία που σχηματίζει με την χορδή

ισούται με καθεμία από τις γωνίες $\angle ATS, \angle LNS$ . Έπεται η ζητούμενη παραλληλία.

Επίσης η προέκταση της ευθείας SKO

αριστερότερα του

τέμνει την

σε σημείο, ας πούμε

έτσι ώστε

ίσον το πηλίκο των ακτίνων διότι: εύκολα βλέπουμε από την προηγούμενη παραλληλία ότο US:OS=LS:PS=

το πηλίκο των ακτίνων (το τελευταίο από την παραλληλία των LO, PK

που βγαίνει από την ισότητα των επίκεντρων γωνιών $\angle LOS=\angle PKS = 2\angle PTS$ ) . Έτσι το

είναι το ζητούμενο σταθερό σημείο επί την

.

Edit: Με πρόλαβαν.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 07, 2018 9:20 pm
Από σταθερό σημείο.pngΟ κύκλος εφάπτεται εσωτερικά του , σε σημείο . Μεταβλητή διάμετρος

του μεγάλου τέμνει τον μικρό κύκλο στα σημεία , ενώ οι τέμνουν τον μεγάλο στα .

Α) Δείξτε ότι : $LN\parallel AB$ και Β) Δείξτε ότι η διέρχεται από σταθερό σημείο .

Και μένα με πρόλαβαν προ πολλού ( δεν είχα αμφιβολία περί αυτού όταν έγραφα τη λύση για τα κιτάπια μου ) . Έχει όμως και ένα σχήμα που κάνει ελαφρώς πιο εύκολη την ανάγνωση και την ανεβάζω :

Φέρνω τη κοινή εξωτερική και λόγω της γωνίας που σχηματίζει με χορδές στο άκρο τους θα είναι $\left\{ \begin{gathered} \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} \hfill \\ \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} \Leftrightarrow \boxed{AB//LN}\,\,\,(2)$ .

: Απο σταθερό σημείο_KARKAR.png (46.67 KiB) Προβλήθηκε 449 φορές

Από την άλλη μεριά αφού οι γωνίες της βάσης ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες θα είναι :

$\left\{ \begin{gathered} \widehat {{a_4}} = \widehat {{a_5}} \hfill \\ \widehat {{a_4}} = \widehat {{a_6}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \widehat {{a_5}} = \widehat {{a_6}} \Leftrightarrow \boxed{KT//ON}\,\,(2)$ .

Η ευθεία της διακέντρου είναι σταθερή κι έστω

το σημείο τομής της με την

. Θέτω

και λόγω των παραλληλιών $(1)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,(2)$ θα έχω :

$\dfrac{{KT}}{{ON}} = \dfrac{{ST}}{{SN}} = \dfrac{{SO}}{{SG}} \Rightarrow \dfrac{r}{R} = \dfrac{R}{{R + x}} \Rightarrow \boxed{x = R\frac{{R - r}}{r}}$ συνεπώς οι χορδές

διέρχονται από το

.

Από σταθερό σημείο

Από σταθερό σημείο

Re: Από σταθερό σημείο

Re: Από σταθερό σημείο

Re: Από σταθερό σημείο

Μέλη σε σύνδεση