Εμβαδόν από το πουθενά
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Εμβαδόν από το πουθενά
Κινητό ξεκινά από σημείο , της και κινούμενο σε ευθεία, συναντά την στο σημείο .
Αν καθ' όλη τη διαδρομή του , το άθροισμα των αποστάσεων της τρέχουσας θέσης (σημείου) από τις παραμένει σταθερό,
βρείτε το εμβαδόν του
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
Λέξεις Κλειδιά:
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Εμβαδόν από το πουθενά
Καλημέρα.Γεια σου Σάκη , τους χαιρετισμούς μου στο Κιάτο ! Ελκυστικό βεβαίως το παρόν θέμα , ικανό να σε ..αιχμαλωτίσει !
Στο σχήμα είναι , και
Δίνεται
Μπορούμε να δείξουμε και για το τυχαίο (*)
Τότε , οπότε
(*) Επανέρχομαι για τις αποδείξεις και .
Έχουμε
Έστω . Τότε και
ενώ . Άρα δηλ.
Στη συνέχεια θα δείξουμε και ότι τα τρίγωνα είναι όμοια. Έχουμε
άρα αλλά και αφού .
Θέλουμε να δείξουμε
Τα τρίγωνα είναι ίσα οπότε δηλ. τα τρίγωνα είναι όμοια επομένως .
Ας είναι , τότε οπότε
και επομένως που ισχύει.
Άρα καθώς το διατρέχει την (όπου )
το άθροισμα των αποστάσεών του από τις 3 πλευρές παραμένει σταθερά ίσο με επομένως , αν το ερμηνεύω σωστά
ικανοποιείται η υπόθεση που γράφει ο Σάκης :
<< Αν καθ' όλη τη διαδρομή του DE, το άθροισμα των αποστάσεων της τρέχουσας θέσης (σημείου) από τις AB, AC, BC παραμένει σταθερό..>>
.
Το ζητούμενο εμβαδόν -εφόσον δεν υπάρχει λάθος στα παραπάνω - εκφράζεται ως συνάρτηση του μήκους του .
Για να είναι αριθμητικό αποτέλεσμα πρέπει το να είναι σε μοναδική θέση πάνω στην .
Πιθανόν ο Σάκης με την ως άνω διατύπωση να εννοεί κάτι επιπλέον που δεν έχει αξιοποιηθεί..
Φιλικά , Γιώργος.
Δίνεται
Μπορούμε να δείξουμε και για το τυχαίο (*)
Τότε , οπότε
(*) Επανέρχομαι για τις αποδείξεις και .
Έχουμε
Έστω . Τότε και
ενώ . Άρα δηλ.
Στη συνέχεια θα δείξουμε και ότι τα τρίγωνα είναι όμοια. Έχουμε
άρα αλλά και αφού .
Θέλουμε να δείξουμε
Τα τρίγωνα είναι ίσα οπότε δηλ. τα τρίγωνα είναι όμοια επομένως .
Ας είναι , τότε οπότε
και επομένως που ισχύει.
Άρα καθώς το διατρέχει την (όπου )
το άθροισμα των αποστάσεών του από τις 3 πλευρές παραμένει σταθερά ίσο με επομένως , αν το ερμηνεύω σωστά
ικανοποιείται η υπόθεση που γράφει ο Σάκης :
<< Αν καθ' όλη τη διαδρομή του DE, το άθροισμα των αποστάσεων της τρέχουσας θέσης (σημείου) από τις AB, AC, BC παραμένει σταθερό..>>
.
Το ζητούμενο εμβαδόν -εφόσον δεν υπάρχει λάθος στα παραπάνω - εκφράζεται ως συνάρτηση του μήκους του .
Για να είναι αριθμητικό αποτέλεσμα πρέπει το να είναι σε μοναδική θέση πάνω στην .
Πιθανόν ο Σάκης με την ως άνω διατύπωση να εννοεί κάτι επιπλέον που δεν έχει αξιοποιηθεί..
Φιλικά , Γιώργος.
Re: Εμβαδόν από το πουθενά
Γεια σου, Γιώργο και σε ευχαριστώ που καταπιάστηκες με το πρόβλημά μου.
Για να πέσει λίγο φως, ίσως θα πρεπε να λύσουμε ένα παλιό πρόβλημα κατασκευής, πρώτα:
''Σε τυχαίο τρίγωνο κατασκευάστε τέμνουσα στην ώστε το άθροισμα των αποστάσεων οποιουδήποτε σημείου της από τις 3 πλευρές του να είναι σταθερό''
Από την λύση της παραπάνω κατασκευής, προκύπτει ότι το είναι μοναδικό.
Εφαρμόζοντας πλέον την ''κατασκευή'' στο αρχικό πρόβλημα, το είναι μοναδικό και πλέον το ζητούμενο εμβαδόν είναι υπολογιστέο.
Φιλικά,
Σάκης
ΥΓ. Είμαι μακριά από την έδρα μου και τα ''εργαλεία'' μου. Είναι πολύ πιθανόν, ο Γιώργος να 'χει δίκιο και να έχουμε πέσει σε μια μορφή ''απροσδιοριστίας'' ή ''γραμμικής εξάρτησης'', λόγω το ότι το 3-4-5 είναι ορθογώνιο και όχι ''τυχαίο'' - και πλέον όλες οι τέμνουσες // με τη έχουν την ιδιότητα του ''σταθερού αθροίσματος''. Αν πράγματι είναι έτσι, ζητώ συγγνώμη εκ προοιμίου, πρωτίστως απ'τον φίλο Γιώργο αλλά και όποιον άλλο ασχολήθηκε.
Βέβαια, σκοπός μου δεν ήταν να σας ''παιδέψω'', αλλά με έμμεσο τρόπο να φέρω στην επιφάνεια την παραπάνω παλιά κατασκευή, που νομίζω είναι ενδιαφέρουσα.
Για να πέσει λίγο φως, ίσως θα πρεπε να λύσουμε ένα παλιό πρόβλημα κατασκευής, πρώτα:
''Σε τυχαίο τρίγωνο κατασκευάστε τέμνουσα στην ώστε το άθροισμα των αποστάσεων οποιουδήποτε σημείου της από τις 3 πλευρές του να είναι σταθερό''
Από την λύση της παραπάνω κατασκευής, προκύπτει ότι το είναι μοναδικό.
Εφαρμόζοντας πλέον την ''κατασκευή'' στο αρχικό πρόβλημα, το είναι μοναδικό και πλέον το ζητούμενο εμβαδόν είναι υπολογιστέο.
Φιλικά,
Σάκης
ΥΓ. Είμαι μακριά από την έδρα μου και τα ''εργαλεία'' μου. Είναι πολύ πιθανόν, ο Γιώργος να 'χει δίκιο και να έχουμε πέσει σε μια μορφή ''απροσδιοριστίας'' ή ''γραμμικής εξάρτησης'', λόγω το ότι το 3-4-5 είναι ορθογώνιο και όχι ''τυχαίο'' - και πλέον όλες οι τέμνουσες // με τη έχουν την ιδιότητα του ''σταθερού αθροίσματος''. Αν πράγματι είναι έτσι, ζητώ συγγνώμη εκ προοιμίου, πρωτίστως απ'τον φίλο Γιώργο αλλά και όποιον άλλο ασχολήθηκε.
Βέβαια, σκοπός μου δεν ήταν να σας ''παιδέψω'', αλλά με έμμεσο τρόπο να φέρω στην επιφάνεια την παραπάνω παλιά κατασκευή, που νομίζω είναι ενδιαφέρουσα.
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Εμβαδόν από το πουθενά
Δείτε και Εδώ, την εκτεταμένη συζήτηση για το ενδιαφέρον αυτό πρόβλημα.sakis1963 έγραψε: ...''Σε τυχαίο τρίγωνο κατασκευάστε τέμνουσα στην ώστε το άθροισμα των αποστάσεων οποιουδήποτε σημείου της από τις 3 πλευρές του να είναι σταθερό'' ...
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Δεν είναι απαραίτητο τα άκρα του τμήματος να ανήκουν στις δύο μεγαλύτερες πλευρές του δοσμένου τριγώνου.
Re: Εμβαδόν από το πουθενά
από τον ΙΙΙ τόμο της ελληνικής μετάφρασης της Γεωμετρίας των Ιησουιτών
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Εμβαδόν από το πουθενά
Καλημέρα σε όλους !
Μετά τα άκρως ενδιαφέροντα που προηγήθηκαν ας δούμε μια (αριθμητική) εφαρμογή του αρχικού προβλήματος Αν θεωρήσουμε ( ..όχι τυχαία ) το εν λόγω σταθερό άθροισμα και τότε
οπότε
και από τη σχέση της α' ανάρτησής μου προκύπτει
το οποίο Σάκη , είμαι .. ..(σχεδόν) βέβαιος ότι είναι το αποτέλεσμα που ζητούσες !
Ένα μεγάλο ευχαριστώ και στον Κώστα για το "παράθυρο γνώσης" που μας άνοιξε !
Φιλικά Γιώργος.
Μετά τα άκρως ενδιαφέροντα που προηγήθηκαν ας δούμε μια (αριθμητική) εφαρμογή του αρχικού προβλήματος Αν θεωρήσουμε ( ..όχι τυχαία ) το εν λόγω σταθερό άθροισμα και τότε
οπότε
και από τη σχέση της α' ανάρτησής μου προκύπτει
το οποίο Σάκη , είμαι .. ..(σχεδόν) βέβαιος ότι είναι το αποτέλεσμα που ζητούσες !
Ένα μεγάλο ευχαριστώ και στον Κώστα για το "παράθυρο γνώσης" που μας άνοιξε !
Φιλικά Γιώργος.
Re: Εμβαδόν από το πουθενά
Μία διευκρίνηση:
"το άθροισμα των αποστάσεων της τρέχουσας θέσης (σημείου) από τις παραμένει σταθερό"
Τι σταθερό; π.χ. σταθερό και δοσμένο;
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Re: Εμβαδόν από το πουθενά
Ελλιπής (;) αντιμετώπιση! Στην πραγματικότητα κάθε ευθεία παράλληλη στην ΔΕ μας κάνει.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Εμβαδόν από το πουθενά
Όμως Κώστα, μιλάμε για κάτι λιγότερο από διακόσια χρόνια πριν!
Εντύπωση βέβαια προκαλεί και θα είχε ενδιαφέρον να δει κάποιος, αυτό που αναφέρεται πιο κάτω για την διερεύνηση.
..."ενδιαφέρουσα και μακρά"...
Κώστας Βήττας.
Εντύπωση βέβαια προκαλεί και θα είχε ενδιαφέρον να δει κάποιος, αυτό που αναφέρεται πιο κάτω για την διερεύνηση.
..."ενδιαφέρουσα και μακρά"...
Κώστας Βήττας.
Re: Εμβαδόν από το πουθενά
Κώστα και λοιποί αγαπητοί φίλοι,
αν δούμε την λύση αυστηρά είναι ακριβέστατη! Το πρόβλημα ζητά να κατασκευαστεί ευθεία (τώρα στην γεωμετρία της "αφής" πολλές φορές η ευθεία σημαίνει ευθύγραμμο τμήμα) η οποία έχει μία ιδιότητα. Και με αρχαιοελληνικό τρόπο μας λέει:
"Ορίστε, θέλεις, κατά την εκφώνηση, μία ευθεία; Πάρτην! Είναι η ΔΕ! Να και η απόδειξη ότι έχει την εν λόγω ιδιότητα"
Όλα καλά. Η ένστασή προκύπτει στην συνέχεια που μιλάει για διερεύνηση. Στην πραγματικότητα διερευνά την ύπαρξη ευθειών ανάλογης κατασκευής με την ΔΕ. Εδώ φαίνεται ότι δεν έχει ιδέα για τις υπόλοιπες ευθείες που υπάρχουν.
Βέβαια, ναι, πάνε διακόσια χρόνια. Κανείς δεν μέμφεται κανέναν. Απεναντίας. Η λύση είναι ευφυέστατη. Διαφωνώ αλλά τέρπομαι! Τέλος αυτό που λέει για τα πρόσημα είναι ακριβώς τα πρόσημα των τριγραμμικών συντεταγμένων!!
αν δούμε την λύση αυστηρά είναι ακριβέστατη! Το πρόβλημα ζητά να κατασκευαστεί ευθεία (τώρα στην γεωμετρία της "αφής" πολλές φορές η ευθεία σημαίνει ευθύγραμμο τμήμα) η οποία έχει μία ιδιότητα. Και με αρχαιοελληνικό τρόπο μας λέει:
"Ορίστε, θέλεις, κατά την εκφώνηση, μία ευθεία; Πάρτην! Είναι η ΔΕ! Να και η απόδειξη ότι έχει την εν λόγω ιδιότητα"
Όλα καλά. Η ένστασή προκύπτει στην συνέχεια που μιλάει για διερεύνηση. Στην πραγματικότητα διερευνά την ύπαρξη ευθειών ανάλογης κατασκευής με την ΔΕ. Εδώ φαίνεται ότι δεν έχει ιδέα για τις υπόλοιπες ευθείες που υπάρχουν.
Βέβαια, ναι, πάνε διακόσια χρόνια. Κανείς δεν μέμφεται κανέναν. Απεναντίας. Η λύση είναι ευφυέστατη. Διαφωνώ αλλά τέρπομαι! Τέλος αυτό που λέει για τα πρόσημα είναι ακριβώς τα πρόσημα των τριγραμμικών συντεταγμένων!!
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 20 επισκέπτες