Μέθοδος Πεπερασμένων Όγκων - Προσέγγιση Μερικής Παραγώγισης

Συντονιστής: emouroukos

gdimitris
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Τρί Μαρ 28, 2017 1:56 am

Μέθοδος Πεπερασμένων Όγκων - Προσέγγιση Μερικής Παραγώγισης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gdimitris » Πέμ Οκτ 04, 2018 2:17 am

Καλησπέρα σας, είμαι μηχανικός και προς το παρόν μελετάω την επιστήμη του CFD (Computational Fluid Dynamics), οπου ισως η πιο σοβαρή διαδικασία είναι η διακριτοποίηση μια γεωμετρίας με πλέγμα. Έτσι λοιπόν μια μέθοδος επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων πάνω σε ένα τέτοιο πλέγμα είναι η μέθοδος των πεπερασμένων όγκων (Finite Volume Method), οπου το βιβλίο που διαβάζω δίνει την παρακάτω ισότητα

\displaystyle\Big(\frac{\partial \phi}{\partial x}\Big)=\frac{1}{\Delta V}\int\limits_{V}\frac{\partial \phi}{\partial x}\,dV=\frac{1}{\Delta V}\int\limits_{A}\phi\,dA^x\approx\frac{1}{\Delta V}\sum\limits_{i=1}^{N}\phi_i\,A^x_i

Αυτό που δεν καταλαβαίνω είναι πως είναι δυνατόν οι πρώτες δυο ισότητες να είναι αληθείς;
Θα περίμενα το παρακάτω σαν σωστή ισότητα
Εικόνα



Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
τελευταία επεξεργασία από grigkost σε Πέμ Οκτ 04, 2018 7:24 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: αντικατάσταση εικόνας με LaTeX



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2847
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μέθοδος Πεπερασμένων Όγκων - Προσέγγιση Μερικής Παραγώγισης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Οκτ 04, 2018 7:47 am

gdimitris έγραψε:
Πέμ Οκτ 04, 2018 2:17 am
Καλησπέρα σας, είμαι μηχανικός και προς το παρόν μελετάω την επιστήμη του CFD (Computational Fluid Dynamics), οπου ισως η πιο σοβαρή διαδικασία είναι η διακριτοποίηση μια γεωμετρίας με πλέγμα. Έτσι λοιπόν μια μέθοδος επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων πάνω σε ένα τέτοιο πλέγμα είναι η μέθοδος των πεπερασμένων όγκων (Finite Volume Method), οπου το βιβλίο που διαβάζω δίνει την παρακάτω ισότητα

\displaystyle\Big(\frac{\partial \phi}{\partial x}\Big)=\frac{1}{\Delta V}\int\limits_{V}\frac{\partial \phi}{\partial x}\,dV=\frac{1}{\Delta V}\int\limits_{A}\phi\,dA^x\approx\frac{1}{\Delta V}\sum\limits_{i=1}^{N}\phi_i\,A^x_i

Αυτό που δεν καταλαβαίνω είναι πως είναι δυνατόν οι πρώτες δυο ισότητες να είναι αληθείς;..
Η πρώτη ισότητα \frac{\partial \phi}{\partial x}=\frac{1}{\Delta V}\int_{V}\frac{\partial \phi}{\partial x}\,dV είναι εφαρμογή του θεωρήματος μέσης τιμής για ολοκληρώματα (εξ ου και το "προσέγγιση"). Για την δεύτερη ισότητα θα πρέπει να διευκρινιστεί τι είναι τα A, \; A^x, αν και μοιάζει σαν εφαρμογή του θεωρήματος απόκλισης με δεδομένη κάποια συνθήκη, η οποία δεν αναφέρεται στην δημοσίευση.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
gdimitris
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Τρί Μαρ 28, 2017 1:56 am

Re: Μέθοδος Πεπερασμένων Όγκων - Προσέγγιση Μερικής Παραγώγισης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gdimitris » Πέμ Οκτ 04, 2018 10:44 am

grigkost έγραψε:
Πέμ Οκτ 04, 2018 7:47 am
gdimitris έγραψε:
Πέμ Οκτ 04, 2018 2:17 am
Καλησπέρα σας, είμαι μηχανικός και προς το παρόν μελετάω την επιστήμη του CFD (Computational Fluid Dynamics), οπου ισως η πιο σοβαρή διαδικασία είναι η διακριτοποίηση μια γεωμετρίας με πλέγμα. Έτσι λοιπόν μια μέθοδος επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων πάνω σε ένα τέτοιο πλέγμα είναι η μέθοδος των πεπερασμένων όγκων (Finite Volume Method), οπου το βιβλίο που διαβάζω δίνει την παρακάτω ισότητα

\displaystyle\Big(\frac{\partial \phi}{\partial x}\Big)=\frac{1}{\Delta V}\int\limits_{V}\frac{\partial \phi}{\partial x}\,dV=\frac{1}{\Delta V}\int\limits_{A}\phi\,dA^x\approx\frac{1}{\Delta V}\sum\limits_{i=1}^{N}\phi_i\,A^x_i

Αυτό που δεν καταλαβαίνω είναι πως είναι δυνατόν οι πρώτες δυο ισότητες να είναι αληθείς;..
Η πρώτη ισότητα \frac{\partial \phi}{\partial x}=\frac{1}{\Delta V}\int_{V}\frac{\partial \phi}{\partial x}\,dV είναι εφαρμογή του θεωρήματος μέσης τιμής για ολοκληρώματα (εξ ου και το "προσέγγιση"). Για την δεύτερη ισότητα θα πρέπει να διευκρινιστεί τι είναι τα A, \; A^x, αν και μοιάζει σαν εφαρμογή του θεωρήματος απόκλισης με δεδομένη κάποια συνθήκη, η οποία δεν αναφέρεται στην δημοσίευση.
Ευχαριστώ για την απάντηση όμως υπάρχει κάτι που δεν καταλαβαίνω,
1)Γιατί το παραπάνω είναι εφαρμογή του θεωρηματος της μεσης τιμης και δεν ειναι αυτο που παραθέτω παρακάτω
Εικόνα

2)Επίσης, ισως κάτι δεν έχει γινει κατανοητό απο μέρους μου, η έκφραση Εικόνα ειναι αριθμός, σωστά;
Η Εικόνα ειναι αριθμός ή συνάρτηση ?


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2847
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μέθοδος Πεπερασμένων Όγκων - Προσέγγιση Μερικής Παραγώγισης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Οκτ 04, 2018 12:03 pm

gdimitris έγραψε:
Πέμ Οκτ 04, 2018 10:44 am
Ευχαριστώ για την απάντηση όμως υπάρχει κάτι που δεν καταλαβαίνω,
1)Γιατί το παραπάνω είναι εφαρμογή του θεωρηματος της μεσης τιμης και δεν ειναι αυτο που παραθέτω παρακάτω
Εικόνα

2)Επίσης, ισως κάτι δεν έχει γινει κατανοητό απο μέρους μου, η έκφραση Εικόνα ειναι αριθμός, σωστά;
Η Εικόνα ειναι αριθμός ή συνάρτηση ?
1) Αυτό που αναφέρεις σαν θεώρημα μέσης τιμής έχει το σύμβολο \int που δεν σημαίνει τίποτα άλλο παρά αντιπαραγώγιση. Το θ.μ.τ. αφορά ολοκλήρωση σε "διάστημα" (χωρίο) και είναι αυτό που δίνει την "προσέγγιση".

2) Στην εξίσωση \frac{\partial \phi}{\partial x}=\frac{1}{\Delta V}\int_{V}\frac{\partial \phi}{\partial x}\,dV, θεωρώντας δεδομένο ότι έχει (μαθηματικώς) νόημα, πρέπει το ολοκλήρωμα να εκφράζεται σαν συνάρτηση του x.

3) Αλλά βέβαια, για να για να γίνει κατανοητή η ερώτησή σου θα έπρεπε να παραθέσεις πλήρως τις μαθηματικές έννοιες, όρους, ορισμούς, που ενυπάρχουν στην συγκεκριμένη εξίσωση.

4) Επίσης, οι μαθηματικοί τύποι, από τον κανονισμό, πρέπει να είναι γραμμένοι σε LaTeX και όχι "εμφυτευμένες" εικόνες.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3017
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μέθοδος Πεπερασμένων Όγκων - Προσέγγιση Μερικής Παραγώγισης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Οκτ 04, 2018 1:56 pm

gdimitris έγραψε:
Πέμ Οκτ 04, 2018 2:17 am
Καλησπέρα σας, είμαι μηχανικός και προς το παρόν μελετάω την επιστήμη του CFD (Computational Fluid Dynamics), οπου ισως η πιο σοβαρή διαδικασία είναι η διακριτοποίηση μια γεωμετρίας με πλέγμα. Έτσι λοιπόν μια μέθοδος επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων πάνω σε ένα τέτοιο πλέγμα είναι η μέθοδος των πεπερασμένων όγκων (Finite Volume Method), οπου το βιβλίο που διαβάζω δίνει την παρακάτω ισότητα

\displaystyle\Big(\frac{\partial \phi}{\partial x}\Big)=\frac{1}{\Delta V}\int\limits_{V}\frac{\partial \phi}{\partial x}\,dV=\frac{1}{\Delta V}\int\limits_{A}\phi\,dA^x\approx\frac{1}{\Delta V}\sum\limits_{i=1}^{N}\phi_i\,A^x_i

Αυτό που δεν καταλαβαίνω είναι πως είναι δυνατόν οι πρώτες δυο ισότητες να είναι αληθείς;
Θα περίμενα το παρακάτω σαν σωστή ισότητα
Εικόνα



Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Η πρώτη ισότητα ισχύει σίγουρα αν η \frac{\partial\varphi }{\partial x}
είναι αρμονική συνάρτηση.
Για τις άλλες δεν έχω γνώμη γιατί υπάρχουν σύμβολα που δεν γνωρίζω τι είναι.
Απλά να σημειώσω ότι οι μηχανικοί χρησιμοποιούν συμβολισμούς διαφορετικούς από τους μηχανικούς.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3017
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μέθοδος Πεπερασμένων Όγκων - Προσέγγιση Μερικής Παραγώγισης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Οκτ 04, 2018 3:23 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Οκτ 04, 2018 1:56 pm
gdimitris έγραψε:
Πέμ Οκτ 04, 2018 2:17 am
Καλησπέρα σας, είμαι μηχανικός και προς το παρόν μελετάω την επιστήμη του CFD (Computational Fluid Dynamics), οπου ισως η πιο σοβαρή διαδικασία είναι η διακριτοποίηση μια γεωμετρίας με πλέγμα. Έτσι λοιπόν μια μέθοδος επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων πάνω σε ένα τέτοιο πλέγμα είναι η μέθοδος των πεπερασμένων όγκων (Finite Volume Method), οπου το βιβλίο που διαβάζω δίνει την παρακάτω ισότητα

\displaystyle\Big(\frac{\partial \phi}{\partial x}\Big)=\frac{1}{\Delta V}\int\limits_{V}\frac{\partial \phi}{\partial x}\,dV=\frac{1}{\Delta V}\int\limits_{A}\phi\,dA^x\approx\frac{1}{\Delta V}\sum\limits_{i=1}^{N}\phi_i\,A^x_i

Αυτό που δεν καταλαβαίνω είναι πως είναι δυνατόν οι πρώτες δυο ισότητες να είναι αληθείς;
Θα περίμενα το παρακάτω σαν σωστή ισότητα
Εικόνα



Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Η πρώτη ισότητα ισχύει σίγουρα αν η \frac{\partial\varphi }{\partial x}
είναι αρμονική συνάρτηση.
Για τις άλλες δεν έχω γνώμη γιατί υπάρχουν σύμβολα που δεν γνωρίζω τι είναι.
Απλά να σημειώσω ότι οι μηχανικοί χρησιμοποιούν συμβολισμούς διαφορετικούς από τους μαθηματικούς.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1127
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μέθοδος Πεπερασμένων Όγκων - Προσέγγιση Μερικής Παραγώγισης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Οκτ 04, 2018 3:46 pm

Από μια γρήγορη ματιά που έριξα η μέθοδος (το κομμάτι της αρχικής δημοσίευσης) μάλλον εμπερικλείεται στα εξής:

Διαμερίζουμε το χώρο του προβλήματος που μελετάμε (διάχυσης, θερμικής μεταφοράς κτλ) σε στοιχεία πεπερασμένου όγκου. Δημιούργουμε έτσι ένα πλέγμα. Το αναφερόμενο κομμάτι στην αρχική δημοσίευση έχει να κάνει κυρίως με τον υπόλογισμο του gradient ανάδελτα μιας ποσότητας \varphi υπολογιστικά.

Το σημείο έναρξης είναι ο ορισμός της μέσης απόκλισης πάνω στο στοιχείο πεπερασμένου όγκου με κεντροειδές (κέντρο μάζας ή ότι άλλο βολεύει στο πρόβλημα) C και όγκου C_{V}

\displaystyle \overline {\nabla \varphi_{C}} = \dfrac{1}{V_{C}} \int_{V_{C}} \nabla \varphi \mathrm{d}V

Ύστερα, όπως προανφέρθηκε, με το θεώρημα απόκλισης το ολοκλήρωμα όγκου μετασηματίζεται σε επιφανειακό ολοκλήρωμα

\displaystyle \overline{ \nabla \varphi_{C}} = \dfrac{1}{V_{C}}  \int_{\partial V_{C}}  \varphi \mathrm{d} S

όπου  \mathrm{d} S είναι το προς τα έξω κατευθυνόμενο διάνυσμα επιφανείας. Σε περίπτωση που το πεπερασμένο στοιχείο όγκου μας έχει διακριτές "έδρες" (faces) η παραπάνω σχέση γράφεται

\displaystyle \overline{ \nabla \varphi_{C}} = \dfrac{1}{V_{C}} \sum_{\partial V_{C}}  \int_{face}  \varphi \mathrm{d} S

μετά το ολοκλήρωμα πάνω στην κάθε έδρα προσεγγίζεται μέσο π.χ. midpoint integration rule για να γίνει ίσο με την τιμή της παρεμβολής του πεδίου προς μελέτη πολλαπλασιαμένο με το εμβαδό της έδρας

\displaystyle \overline{ \nabla \varphi_{C}} =  \dfrac{1}{V_{C}} \sum_{\partial V_{C}}\overline{ \varphi_{f}}S_{f}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες