Ένα δίνεται και ένα ζητείται

#1

: Ένα δίνεται και ένα ζητείται.png (8.6 KiB) Προβλήθηκε 625 φορές

Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ABC(AB=AC),

ένα σημείο της πλευράς

και

το μέσο του BC.

Επί του τμήματος

θεωρώ τα σημεία N, L

ώστε $AN\bot CP$ και CL=AN.

α) Να δείξετε ότι και το τρίγωνο MLN

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

β) Αν επιπλέον δίνεται $\displaystyle \frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2},$ να βρείτε το λόγο $\dfrac{(MLN)}{(ABC)}$ . Πόσο είναι το μέτρο της γωνίας $A\widehat CP$ σε αυτή την περίπτωση;

#2

Για το α):
Το τετράπλευρο PNMB

είναι εγγράψιμο αφού

AC^2=(CN)(CP)=(CM)(CB)

Αν

είναι κάθετη στην

στο

, με

επί της

, τότε το πεντάπλευρο ATLMP

είναι (απλό και γρήγορο), εγγράψιμο κ.λπ.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 01, 2018 6:57 pm
Ένα δίνεται και ένα ζητείται.png
Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ένα σημείο της πλευράς και το μέσο του

Επί του τμήματος θεωρώ τα σημεία ώστε $AN\bot CP$ και

α) Να δείξετε ότι και το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

β) Αν επιπλέον δίνεται $\displaystyle \frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2},$ να βρείτε το λόγο $\dfrac{(MLN)}{(ABC)}$ . Πόσο είναι το μέτρο της γωνίας $A\widehat CP$ σε αυτή την περίπτωση;

A)Σχηματίζουμε το παραλ/μμο $\displaystyle NALE$ οπότε $\displaystyle K$ μέσον του $\displaystyle LN$

Ακόμη, $\displaystyle \theta + \phi = \theta + \omega = {45^0} \Rightarrow \phi = \omega$ και $\displaystyle CMNA$ εγγράψιμο άρα $\displaystyle \angle AMN = \theta$

Είναι, $\displaystyle \vartriangle LCM = \vartriangle MAN(\Pi - \Gamma - \Pi )$ άρα $\displaystyle LM = MN$ και $\displaystyle \angle KLM = \theta + \omega = {45^0}$ .

Άρα $\displaystyle \vartriangle LMN$ ορθογώνιο-ισοσκελές με $\displaystyle LN = 2MK$

B)Με $\displaystyle BZ \bot CP \Rightarrow y//MK \Rightarrow y = 2MK = LN$

$\displaystyle \frac{{\left( {ACN} \right)}}{{\left( {CNB} \right)}} = \frac{{AP}}{{PB}} = \frac{x}{y} = m$ όπου $\displaystyle m = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}$ άρα $\displaystyle x = my$

Τώρα, στο $\displaystyle \vartriangle CAN$ με Π.Θ έχουμε

$\displaystyle A{C^2} = {x^2} + {\left( {y + x} \right)^2} \Rightarrow {b^2} = {\left( {my} \right)^2} + {\left[ {\left( {m + 1} \right)y} \right]^2} \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{2} = \left( {2{m^2} + 2m + 1} \right){y^2} \Rightarrow {\left( {\frac{y}{a}} \right)^2} = \frac{1}{4}$

Αλλά $\displaystyle \vartriangle LMN \simeq \vartriangle ABC \Rightarrow \boxed{\frac{{\left( {LMN} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = {{\left( {\frac{y}{a}} \right)}^2} = \frac{1}{4}}$

C) $\displaystyle \tan \theta = \frac{x}{{x + y}} = \frac{{my}}{{my + y}} = \frac{m}{{m + 1}} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}}}{{1 + \frac{{\sqrt 3 }}{3}}} = \frac{{\tan {{45}^0} - \tan {{30}^0}}}{{1 + \tan {{45}^0}\tan {{30}^0}}} = \tan ({45^0} - {30^0}) = \tan {15^0}$

Άρα $\displaystyle \boxed{\theta = {{15}^0}}$

: ένα δίνεται κι ένα ζητείται.png (22.35 KiB) Προβλήθηκε 524 φορές

#4

Αφού δόθηκαν εντός φακέλου λύσεις, για το α), να μία εκτός φακέλου:

Αν

είναι κάθετη στην

στο

, με

επί της

, τότε η στροφή περί το Μ κατά ενενήντα μοίρες, στέλνει το τρίγωνο CLT

στο τρίγωνο ANP

και δίνει την λύση.

Ένα δίνεται και ένα ζητείται

Ένα δίνεται και ένα ζητείται

Re: Ένα δίνεται και ένα ζητείται

Re: Ένα δίνεται και ένα ζητείται

Re: Ένα δίνεται και ένα ζητείται

Μέλη σε σύνδεση