Σχέση πλευρών

#1

: Σχέση μεταξύ πλευρών.png (9.45 KiB) Προβλήθηκε 755 φορές

Σε τρίγωνο ABP

είναι $\widehat B=2\widehat P.$ Προεκτείνω την

κατά τμήμα $PC=\dfrac{BP}{3}.$

Να βρείτε μία σχέση ανάμεσα στις πλευρές a, b, c

του τριγώνου ABC.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 30, 2018 6:15 pm
Σχέση μεταξύ πλευρών.png
Σε τρίγωνο είναι $\widehat B=2\widehat P.$ Προεκτείνω την κατά τμήμα $PC=\dfrac{BP}{3}.$

Να βρείτε μία σχέση ανάμεσα στις πλευρές του τριγώνου

Από τον Νόμο των ημιτόνων στο ABP

έχουμε

$\displaystyle{\frac {c}{\sin P} = \frac { \frac {3}{4}a}{\sin (180-P-2P)}= \frac { 3a}{4\sin (3P)}= \frac { 3a}{4\sin P ( 4 \cos ^2 P-1)}= \frac { 3a}{4\sin P ( 2 \cos 2 P +1)} = \frac { 3a}{4\sin P ( 2 \cos B +1)}}$

Άρα

$\displaystyle{ 2 \cos B +1 = \frac { 3a}{4c}}$

Θέτοντας $\displaystyle{ \cos B = \frac { a^2+c^2-b^2}{2ac}}$ , παίρνουμε την ζητούμενη σχέση. Συγκεκριμένα $\displaystyle{a^2+4c^2 = 4b^2-4ac}$ .

Edit: Διόρθωσα ένα πρόσημο, καθ' υπόδειξιν του θεματοθέτη Γιώργου, τον οποίο ευχαριστώ.

Ιστοσελίδα · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 30, 2018 6:15 pm

Σε τρίγωνο είναι $\widehat B=2\widehat P.$ Προεκτείνω την κατά τμήμα $PC=\dfrac{BP}{3}.$

Να βρείτε μία σχέση ανάμεσα στις πλευρές του τριγώνου

Καλημέρα!

: shape.png (12.95 KiB) Προβλήθηκε 684 φορές

Επί της

παίρνουμε σημείο

, τέτοιο ώστε AB = AD = c

και έστω $AM \bot BD$

Αξιοποιώντας τα δεδομένα της άσκησης και από διπλό Π.Θ. στα $\triangle ADM, \triangle ACM$ έχουμε: ${c^2} - {\left( {\dfrac{{3a/4 - c}}{2}} \right)^2}\mathop = \limits^{A{M^2}} {b^2} - {\left( {\dfrac{{3a/4 - c}}{2} + c + \dfrac{a}{4}} \right)^2}$

και μετά από πράξεις καταλήγουμε στη σχέση ${a^2} + 4{c^2} = 4{b^2} - 4ac$

#4

Ευχαριστώ το Μιχάλη Λάμπρου και το Μιχάλη Νάννο για τις λύσεις τους. Στη δική μου λύση χρησιμοποίησα την ισοδυναμία

$\displaystyle \widehat B = 2\widehat P \Leftrightarrow A{P^2} = A{B^2} + AB \cdot BP$ και στη συνέχεια το θεώρημα Stewart, καταλήγοντας στην ίδια σχέση με τους

προαναφερθέντες. Να συμπληρώσω ακόμα ότι η τελική ισότητα είναι δευρεροβάθμια εξίσωση ως προς

και δίνει $\boxed{a=2(b-c)}$

Σχέση πλευρών

Σχέση πλευρών

Re: Σχέση πλευρών

Re: Σχέση πλευρών

Re: Σχέση πλευρών

Μέλη σε σύνδεση