Μια άσκηση με θεώρημα Μενελάου

#1

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle ABC$ . Αν $\displaystyle D$ είναι ένα σημείο της πλευράς $\displaystyle BC$ τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα

$\displaystyle AD$ να είναι η διχοτόμος της $\displaystyle \hat A$ καθώς και $\displaystyle E,{\rm{ F}}$ σημεία των $\displaystyle AB,{\rm{ AC}}$ τέτοια ώστε

τα ευθύγραμμα τμήματα $\displaystyle DE,{\rm{ DF}}$ να είναι οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle ADB,{\rm{ ADC}}$ αντιστοίχως.

Αν η προέκταση του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle EF$ τέμνει την προέκταση της πλευράς $\displaystyle BC$ στο $\displaystyle P$ τότε, να

αποδείξετε ότι $\displaystyle AP \bot AD$ .

https://en.wikipedia.org/wiki/Menelaus%27s_theorem

#2

chris_gatos έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 12, 2018 3:23 pm
Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle ABC$ . Αν $\displaystyle D$ είναι ένα σημείο της πλευράς $\displaystyle BC$ τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα

$\displaystyle AD$ να είναι η διχοτόμος της $\displaystyle \hat A$ καθώς και $\displaystyle E,{\rm{ F}}$ σημεία των $\displaystyle AB,{\rm{ AC}}$ τέτοια ώστε

τα ευθύγραμμα τμήματα $\displaystyle DE,{\rm{ DF}}$ να είναι οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle ADB,{\rm{ ADC}}$ αντιστοίχως.

Αν η προέκταση του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle EF$ τέμνει την προέκταση της πλευράς $\displaystyle BC$ στο $\displaystyle P$ τότε, να

αποδείξετε ότι $\displaystyle AP \bot AD$ .

https://en.wikipedia.org/wiki/Menelaus%27s_theorem

Από Μενέλαο στο ABC

με διατέμνουσα EFP

είναι

$\displaystyle{ 1= \frac {BP}{CP}\cdot \frac {CF}{FA}\cdot \frac {AE}{EB}= \frac {BP}{CP}\cdot \frac {CD}{DA}\cdot \frac {DA}{DB}}$ άρα

$\displaystyle{ \frac {BP}{CP} = \frac {DB}{CD}}$

Αυτό σημαίνει ότι η

είναι εξωτερική διχοτόμος της

, από όπου έπεται η ζητούμενη καθετότητα.

#3

chris_gatos έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 12, 2018 3:23 pm
Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle ABC$ . Αν $\displaystyle D$ είναι ένα σημείο της πλευράς $\displaystyle BC$ τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα

$\displaystyle AD$ να είναι η διχοτόμος της $\displaystyle \hat A$ καθώς και $\displaystyle E,{\rm{ F}}$ σημεία των $\displaystyle AB,{\rm{ AC}}$ τέτοια ώστε

τα ευθύγραμμα τμήματα $\displaystyle DE,{\rm{ DF}}$ να είναι οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle ADB,{\rm{ ADC}}$ αντιστοίχως.

Αν η προέκταση του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle EF$ τέμνει την προέκταση της πλευράς $\displaystyle BC$ στο $\displaystyle P$ τότε, να

αποδείξετε ότι $\displaystyle AP \bot AD$ .

https://en.wikipedia.org/wiki/Menelaus%27s_theorem

Από θεώρημα Μενελάου στο ABC

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {PEF}$ και από θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου έχουμε:

$\displaystyle \frac{{AE}}{{EB}} \cdot \frac{{PB}}{{PC}} \cdot \frac{{FC}}{{AF}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{BD}} \cdot \frac{{PB}}{{PC}} \cdot \frac{{DC}}{{AD}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{DC}}{{BD}} = \frac{{PC}}{{PB}}$

κι επειδή το

είναι το ίχνος της εσωτερικής διχοτόμου, το

θα είναι το ίχνος της εξωτερικής διχοτόμου και το ζητούμενο έπεται.

Με πρόλαβαν. Το αφήνω για τον κόπο.

Μια άσκηση με θεώρημα Μενελάου

Μια άσκηση με θεώρημα Μενελάου

Re: Μια άσκηση με θεώρημα Μενελάου

Re: Μια άσκηση με θεώρημα Μενελάου

Μέλη σε σύνδεση