Μια άσκηση με θεώρημα Μενελάου

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6774
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Μια άσκηση με θεώρημα Μενελάου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Σεπ 12, 2018 3:23 pm

Δίνεται τρίγωνο \displaystyle ABC. Αν \displaystyle D είναι ένα σημείο της πλευράς \displaystyle BC τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα

\displaystyle AD να είναι η διχοτόμος της \displaystyle \hat A καθώς και \displaystyle E,{\rm{ F}} σημεία των \displaystyle AB,{\rm{ AC}} τέτοια ώστε

τα ευθύγραμμα τμήματα \displaystyle DE,{\rm{ DF}} να είναι οι διχοτόμοι των γωνιών \displaystyle ADB,{\rm{ ADC}} αντιστοίχως.

Αν η προέκταση του ευθύγραμμου τμήματος \displaystyle EF τέμνει την προέκταση της πλευράς \displaystyle BC στο \displaystyle P τότε, να

αποδείξετε ότι \displaystyle AP \bot AD.

https://en.wikipedia.org/wiki/Menelaus%27s_theorem


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10678
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μια άσκηση με θεώρημα Μενελάου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Σεπ 12, 2018 4:21 pm

chris_gatos έγραψε:
Τετ Σεπ 12, 2018 3:23 pm
Δίνεται τρίγωνο \displaystyle ABC. Αν \displaystyle D είναι ένα σημείο της πλευράς \displaystyle BC τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα

\displaystyle AD να είναι η διχοτόμος της \displaystyle \hat A καθώς και \displaystyle E,{\rm{ F}} σημεία των \displaystyle AB,{\rm{ AC}} τέτοια ώστε

τα ευθύγραμμα τμήματα \displaystyle DE,{\rm{ DF}} να είναι οι διχοτόμοι των γωνιών \displaystyle ADB,{\rm{ ADC}} αντιστοίχως.

Αν η προέκταση του ευθύγραμμου τμήματος \displaystyle EF τέμνει την προέκταση της πλευράς \displaystyle BC στο \displaystyle P τότε, να

αποδείξετε ότι \displaystyle AP \bot AD.

https://en.wikipedia.org/wiki/Menelaus%27s_theorem
Από Μενέλαο στο ABC με διατέμνουσα EFP είναι

\displaystyle{ 1= \frac {BP}{CP}\cdot \frac {CF}{FA}\cdot \frac {AE}{EB}= \frac {BP}{CP}\cdot \frac {CD}{DA}\cdot \frac {DA}{DB}} άρα

\displaystyle{ \frac {BP}{CP} =  \frac {DB}{CD}}

Αυτό σημαίνει ότι η AP είναι εξωτερική διχοτόμος της A, από όπου έπεται η ζητούμενη καθετότητα.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7323
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μια άσκηση με θεώρημα Μενελάου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Σεπ 12, 2018 4:24 pm

chris_gatos έγραψε:
Τετ Σεπ 12, 2018 3:23 pm
Δίνεται τρίγωνο \displaystyle ABC. Αν \displaystyle D είναι ένα σημείο της πλευράς \displaystyle BC τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα

\displaystyle AD να είναι η διχοτόμος της \displaystyle \hat A καθώς και \displaystyle E,{\rm{ F}} σημεία των \displaystyle AB,{\rm{ AC}} τέτοια ώστε

τα ευθύγραμμα τμήματα \displaystyle DE,{\rm{ DF}} να είναι οι διχοτόμοι των γωνιών \displaystyle ADB,{\rm{ ADC}} αντιστοίχως.

Αν η προέκταση του ευθύγραμμου τμήματος \displaystyle EF τέμνει την προέκταση της πλευράς \displaystyle BC στο \displaystyle P τότε, να

αποδείξετε ότι \displaystyle AP \bot AD.

https://en.wikipedia.org/wiki/Menelaus%27s_theorem
Από θεώρημα Μενελάου στο ABC με διατέμνουσα \displaystyle \overline {PEF} και από θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου έχουμε:

\displaystyle \frac{{AE}}{{EB}} \cdot \frac{{PB}}{{PC}} \cdot \frac{{FC}}{{AF}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{BD}} \cdot \frac{{PB}}{{PC}} \cdot \frac{{DC}}{{AD}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{DC}}{{BD}} = \frac{{PC}}{{PB}}

κι επειδή το D είναι το ίχνος της εσωτερικής διχοτόμου, το P θα είναι το ίχνος της εξωτερικής διχοτόμου και το ζητούμενο έπεται.

Με πρόλαβαν. Το αφήνω για τον κόπο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης