Ένας γεωμετρικός τόπος
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13233
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Ένας γεωμετρικός τόπος
Δίνεται μία σταθερή ευθεία και ένα σταθερό σημείο εκτός αυτής. Μεταβλητό σημείο κινείται πάνω στην
Θεωρούμε σημείο του επιπέδου, ώστε Αν οι σχηματίζουν σταθερή γωνία να βρείτε τον
γεωμετρικό τόπο του (Το σχήμα αποτελεί μέρος της λύσης).
Θεωρούμε σημείο του επιπέδου, ώστε Αν οι σχηματίζουν σταθερή γωνία να βρείτε τον
γεωμετρικό τόπο του (Το σχήμα αποτελεί μέρος της λύσης).
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ένας γεωμετρικός τόπος
Γιώργο καλημέρα και Καλή Σχολική Χρονιά...george visvikis έγραψε: ↑Δευ Σεπ 10, 2018 7:01 pmΔίνεται μία σταθερή ευθεία και ένα σταθερό σημείο εκτός αυτής. Μεταβλητό σημείο κινείται πάνω στην
Θεωρούμε σημείο του επιπέδου, ώστε Αν οι σχηματίζουν σταθερή γωνία να βρείτε τον
γεωμετρικό τόπο του (Το σχήμα αποτελεί μέρος της λύσης).
Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:
Θεωρούμε δύο θέσεις του μεταβλητού σημείου επί της δοθείσης ευθείας , τις και , έτσι ώστε
η αρχική θέση να είναι τέτοια ώστε το αντίστοιχο τρίγωνο να εδράζεται επί της .
Τότε είναι εύκολο να διαπιστώσει κανείς ότι από την ομοιότητα των τριγώνων και προκύπτει
η ισότητα των τριγώνων και καθόσον αυτά έχουν:
και
Από την ανωτέρω ισότητα των τριγώνων αυτών προκύπτει ότι το τετράπλευρο
είναι εγγράψιμο σε κύκλο και συνεπώς:
Από την (1) και από το γεγονός ότι το σημείο θεωρήθηκε σταθερό διαπιστώνεται ότι
το μεταβλητό σημείο κινείται επί της ευθείας που σχηματίζει σταθερή κλίση
με τη δοθείσα .
Έτσι ο ζητούμενος γ. τόπος είναι η ευθεία .
Το αντίστροφο είναι εύκολο.
Παρατήρηση:
Θα ήταν αρκετό να πούμε αντί των ανωτέρω, ότι επειδή το σημείο είναι η στροφή
του σημείου γύρω από το σταθερό σημείο κατά δοθείσα γωνία ίση με ,
άρα το σημείο αυτό, δηλαδή το , θα κινείται πάνω στη στροφή της ευθείας
με τα ίδια στοιχεία, που είναι η .
Κώστας Δόρτσιος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες