Ένας γεωμετρικός τόπος

#1

Δίνεται μία σταθερή ευθεία $\displaystyle (\varepsilon )$ και ένα σταθερό σημείο

εκτός αυτής. Μεταβλητό σημείο

κινείται πάνω στην $\displaystyle (\varepsilon ).$

Θεωρούμε σημείο

του επιπέδου, ώστε AP=AQ.

Αν οι

σχηματίζουν σταθερή γωνία $\displaystyle \theta ,$ να βρείτε τον

γεωμετρικό τόπο του

(Το σχήμα αποτελεί μέρος της λύσης).

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 10, 2018 7:01 pm
Δίνεται μία σταθερή ευθεία $\displaystyle (\varepsilon )$ και ένα σταθερό σημείο εκτός αυτής. Μεταβλητό σημείο κινείται πάνω στην $\displaystyle (\varepsilon ).$

Θεωρούμε σημείο του επιπέδου, ώστε Αν οι σχηματίζουν σταθερή γωνία $\displaystyle \theta ,$ να βρείτε τον

γεωμετρικό τόπο του (Το σχήμα αποτελεί μέρος της λύσης).

Γιώργο καλημέρα και Καλή Σχολική Χρονιά...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Γεωμετρικός τόπος 1.png (21.51 KiB) Προβλήθηκε 640 φορές

Θεωρούμε δύο θέσεις του μεταβλητού σημείου $\displaystyle{P}$ επί της δοθείσης ευθείας $\displaystyle{(e)}$ , τις $\displaystyle{P_o}$ και $\displaystyle{P}$ , έτσι ώστε
η αρχική θέση $\displaystyle{P_o}$ να είναι τέτοια ώστε το αντίστοιχο τρίγωνο $\displaystyle{AP_oQ_o}$ να εδράζεται επί της $\displaystyle{(e)}$ .

Τότε είναι εύκολο να διαπιστώσει κανείς ότι από την ομοιότητα των τριγώνων $\displaystyle{AP_oQ_o}$ και $\displaystyle{APQ}$ προκύπτει
η ισότητα των τριγώνων $\displaystyle{AP_oP}$ και $\displaystyle{AQ_oQ}$ καθόσον αυτά έχουν:
$\displaystyle{AP_o=AQ_o, \ \ AP=AQ}$
και
$\displaystyle{\hat{P_oAP}=\hat{Q_oAQ}$

Από την ανωτέρω ισότητα των τριγώνων αυτών προκύπτει ότι το τετράπλευρο $\displaystyle{AQ_oPQ}$
είναι εγγράψιμο σε κύκλο και συνεπώς:
$\displaystyle{\hat{QQ_oP}=\theta=ct \ \ (1) }$
Από την (1) και από το γεγονός ότι το σημείο $\displaystyle{Q_o}$ θεωρήθηκε σταθερό διαπιστώνεται ότι
το μεταβλητό σημείο $\displaystyle{Q}$ κινείται επί της ευθείας $\displaystyle{(e')}$ που σχηματίζει σταθερή κλίση
με τη δοθείσα $\displaystyle{(e)}$ .
Έτσι ο ζητούμενος γ. τόπος είναι η ευθεία $\displaystyle{(e')}$ .
Το αντίστροφο είναι εύκολο.

Παρατήρηση:
Θα ήταν αρκετό να πούμε αντί των ανωτέρω, ότι επειδή το σημείο $\displaystyle{Q}$ είναι η στροφή
του σημείου $\displaystyle{P}$ γύρω από το σταθερό σημείο $\displaystyle{A}$ κατά δοθείσα γωνία ίση με $\displaystyle{\theta}$ ,
άρα το σημείο αυτό, δηλαδή το $\displaystyle{Q}$ , θα κινείται πάνω στη στροφή της ευθείας $\displaystyle{(e)}$
με τα ίδια στοιχεία, που είναι η $\displaystyle{(e')}$ .

Κώστας Δόρτσιος

Ένας γεωμετρικός τόπος

Ένας γεωμετρικός τόπος

Re: Ένας γεωμετρικός τόπος

Μέλη σε σύνδεση