Μέσο από παραλληλία
Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος
Μέσο από παραλληλία
Δίδεται τρίγωνο . Οι εφαπτόμενες του περιγεγραμμένου του κύκλου στα τέμνονται στο σημείο .
Φέρνω ακόμα την εφαπτομένη του ίδιου κύκλου στο και από το παράλληλη προς αυτή που τέμνει τις ευθείες στα σημεία αντίστοιχα.
Δείξετε ότι το είναι μέσο του ..
( Δεκτές και λύσεις με υπέρ-όπλα!)
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μέσο από παραλληλία
Καλημέρα κύριε Νίκο.
Έστω σημείο στην εφαπτόμενη στο , προς την μεριά του . Τότε, , άρα το είναι εγγράψιμο, άρα οι είναι αντιπαράλληλες.
Επίσης, είναι γνωστό ότι η είναι συμμετροδιάμεσος στο τρίγωνο , και αφού επίσης οι είναι αντιπαράλληλες, η είναι διάμεσος στο τρίγωνο , άρα .
Έστω σημείο στην εφαπτόμενη στο , προς την μεριά του . Τότε, , άρα το είναι εγγράψιμο, άρα οι είναι αντιπαράλληλες.
Επίσης, είναι γνωστό ότι η είναι συμμετροδιάμεσος στο τρίγωνο , και αφού επίσης οι είναι αντιπαράλληλες, η είναι διάμεσος στο τρίγωνο , άρα .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μέσο από παραλληλία
Άλλος Τρόπος:
Όπως πριν, το είναι εγγράψιμο, άρα , άρα , και ομοίως . Όμως, , άρα , ό.έ.δ.
Όπως πριν, το είναι εγγράψιμο, άρα , άρα , και ομοίως . Όμως, , άρα , ό.έ.δ.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Μέσο από παραλληλία
Μπροστά στα τσιτάχ (όπως λέει και ο Βήττας) δεν προλαβαίνει κανείςΟρέστης Λιγνός έγραψε: ↑Παρ Αύγ 03, 2018 10:26 amΆλλος Τρόπος:
Όπως πριν, το είναι εγγράψιμο, άρα , άρα , και ομοίως . Όμως, , άρα , ό.έ.δ.
Μου έμεινε μόνο το σχήμα
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Μέσο από παραλληλία
Άλλη μία.
Έστω το αντιδιαμετρικό του Η τέμνει την στο και η κάθετη από το στην τέμνει την στο
Προφανώς η εφαπτομένη στο είναι παράλληλη στην Αρκεί να δείξω ότι το είναι σημείο του και μάλιστα το
μέσον του. Πράγματι, από κατασκευής το είναι ορθόκεντρο του τριγώνου άρα οι εφαπτόμενες του κύκλου στα
τέμνονται στο μέσο του
"Πειράζω" λίγο την κατασκευή του σχήματος:Έστω το αντιδιαμετρικό του Η τέμνει την στο και η κάθετη από το στην τέμνει την στο
Προφανώς η εφαπτομένη στο είναι παράλληλη στην Αρκεί να δείξω ότι το είναι σημείο του και μάλιστα το
μέσον του. Πράγματι, από κατασκευής το είναι ορθόκεντρο του τριγώνου άρα οι εφαπτόμενες του κύκλου στα
τέμνονται στο μέσο του
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Μέσο από παραλληλία
Doloros έγραψε: ↑Παρ Αύγ 03, 2018 9:47 amΜέσο απο παραλληλία.png
Δίδεται τρίγωνο . Οι εφαπτόμενες του περιγεγραμμένου του κύκλου στα τέμνονται στο σημείο .
Φέρνω ακόμα την εφαπτομένη του ίδιου κύκλου στο και από το παράλληλη προς αυτή που τέμνει τις ευθείες στα σημεία αντίστοιχα.
Δείξετε ότι το είναι μέσο του ..
( Δεκτές και λύσεις με υπέρ-όπλα!)
Η ως κάθετη στην εφαπτόμενη στο ,θα είναι κάθετη και στην παράλληλή της
Ακόμη , και ,άρα και είναι εγγράψιμα.
Θεωρούμε τον κύκλο που προφανώς περνά από το αφού
Αν, μέσα των αντίστοιχα, θα είναι και ,επομένως όλες
οι πράσινες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους ,όπως και οι κόκκινες
Έτσι τα τετράπλευρα είναι εγγράψιμα και ο περίκυκλος αυτών είναι ο
που είναι ο κύκλος Euler του ,άρα μέσον του
Re: Μέσο από παραλληλία
.Doloros έγραψε: ↑Παρ Αύγ 03, 2018 9:47 amΜέσο απο παραλληλία.png
Δίδεται τρίγωνο . Οι εφαπτόμενες του περιγεγραμμένου του κύκλου στα τέμνονται στο σημείο .
Φέρνω ακόμα την εφαπτομένη του ίδιου κύκλου στο και από το παράλληλη προς αυτή που τέμνει τις ευθείες στα σημεία αντίστοιχα.
Δείξετε ότι το είναι μέσο του ..
( Δεκτές και λύσεις με υπέρ-όπλα!)
Όλες οι γωνίες ίδιου χρώματος είναι ίσες (λόγω παραλληλίας, υπό χορδής και εφαπτομένης στο ίδιο τόξο, κατακορυφήν) και το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Οπότε από τα ισοσκελή τρίγωνα είναι .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 12 επισκέπτες