IMC 2018/2/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8541
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2018/2/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιούλ 26, 2018 11:39 am

Έστω θετικός ακέραιος k. Να βρεθεί ο μικρότερος θετικός ακέραιος n για τον οποίο υπάρχουν k μη μηδενικά διανύσματα v_1,v_2,\ldots,v_k στο \mathbb{R}^n ώστε για κάθε i,j με |i-j|>1 τα διανύσματα v_i να v_j είναι κάθετα.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: IMC 2018/2/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Πέμ Ιούλ 26, 2018 2:53 pm

Ας δούμε και αυτό:

Αν έχουμε τα k διανύσματα σε μια σειρά, τότε είτε στις άρτιες είτε στις περιττές θέσεις υπάρχουν \lceil{\frac{k}{2}\rceil} από αυτά που θα είναι ανα 2 κάθετα, άρα γραμμικώς ανεξάρτητα, οπότε ο χώρος τους πρέπει να έχει διάσταση τουλάχιστον \lceil{\frac{k}{2}\rceil}.

Ο \mathbb{R}^{n} με n = \lceil{\frac{k}{2}\rceil} δουλεύει, διότι παίρνουμε μια ορθοκανονική βάση u_1, u_2, ..., u_n και τα βάζουμε στη σειρά:
u_1, u_1, u_2, u_2, ..., u_{n-1}, u_n, u_n. Αν ο k είναι άρτιος και έχουμε k = 2n, τότε αυτά είναι τα v_1, ..., v_k, διότι εύκολα έχουν τη ζητούμενη ιδιότητα. Αν ο k είναι περιττός και έχουμε k = 2n - 1, απλά πετάμε το τελευταίο u_n και έχουμε πάλι τα ζητούμενα διανύσματα.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8541
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2018/2/1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Αύγ 04, 2018 4:58 pm

Αμέλησα να το γράψω αλλά μια γενίκευση του πιο πάνω το Λήμμα 1 του κεφαλαίου 10 στο βιβλίο "Combinatorics: Set Systems, Hypergraphs, Families of Vectors and Combinatorial Probability" του Bollobás.

Μπορείτε να δείτε το Λήμμα 1 εδώ:

https://books.google.cz/books?id=psqFNl ... ed&f=false

Έχω κάποιο πρόβλημα με τον σύνδεσμο. Επιλέξτε την σελίδα 71. Θα προσπαθήσω να το φτιάξω όταν επιστρέψω Κύπρο μιας και τώρα γράφω από το αεροδρόμιο της Πράγας.


Το λήμμα δείχνει επίσης ότι πέραν κάποιων προφανών τροποποιήσεων το παράδειγμα του Νίκου είναι μοναδικό.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες