Ισότητα τμημάτων 41

KARKAR · #1

: Ισότητα τμημάτων 41.png (11.5 KiB) Προβλήθηκε 444 φορές

Το

είναι το κέντρο του ημικυκλίου . Εξηγήστε γιατί είναι : ST=SQ

.

Υπολογίστε τα μήκη αυτών των ίσων τμημάτων συναρτήσει της ακτίνας

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 12, 2018 11:22 am
Ισότητα τμημάτων 41.pngΤο είναι το κέντρο του ημικυκλίου . Εξηγήστε γιατί είναι : .

Υπολογίστε τα μήκη αυτών των ίσων τμημάτων συναρτήσει της ακτίνας .

Το βλέπω ανάδρομα .

: οσότητα τμημάτων 41.png (21.85 KiB) Προβλήθηκε 416 φορές

Έστω ένα ημικύκλιο διαμέτρου $\overline {AOB}$ , ακτίνας $r = 5k\,\,,\,\,k > 0$ και

σημείο

του για το οποίο TA = 6k

, τότε το $\vartriangle ABT \to (5,4,3)$ Φέρνω κάθετη το κέντρο

που τέμνει τη

στο

. Προφανώς $\vartriangle SBO \to (5,4,3)$ και αφού η πλευρά

του $OB = 4t = 5k \Rightarrow \boxed{t = \frac{5}{4}k}$ δηλαδή το $\vartriangle SBO$ έχει πλευρές:

$\boxed{OS = 3t = \frac{{15}}{4}k}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{SB = 5t = \frac{{25}}{4}k}$ Αν τώρα

, σημείο της ακτίνας

με

φέρνω τη

που τέμνει την

στο

.

Στο $\vartriangle BSO$ από το Θ. Μενελάου με διατέμνουσα $\overline {SQO}$ έχω :

$\dfrac{{BT}}{{TS}} \cdot \dfrac{{SQ}}{{QO}} \cdot \dfrac{{OP}}{{PB}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{8k}}{{\left( {8 - \dfrac{{25}}{4}} \right)k}} \cdot \dfrac{{SQ}}{{QO}} \cdot \dfrac{k}{{4k}} = 1$ και άρα : $\dfrac{8}{7} \cdot \dfrac{{SQ}}{{QO}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{SQ}}{{QO}} = \dfrac{7}{8} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} SQ = \frac{7}{4}k \hfill \\ QO = 2k \hfill \\ \end{gathered} \right.$ αλλά και

$\boxed{TS = \left( {8 - \frac{{25}}{4}} \right)k = \frac{7}{4}k}$ συνεπώς ST = SQ

στο πιο κάτω σχήμα τα πράγματα φαίνονται πιο απλοποιημένα:

: οσότητα τμημάτων 41_A.png (20.18 KiB) Προβλήθηκε 408 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 12, 2018 11:22 am
Ισότητα τμημάτων 41.pngΤο είναι το κέντρο του ημικυκλίου . Εξηγήστε γιατί είναι : .

Υπολογίστε τα μήκη αυτών των ίσων τμημάτων συναρτήσει της ακτίνας .

Έστω

η προβολή του

στη διάμετρο και OE=x.

: Ίσότητα τμημάτων 41.png (16.89 KiB) Προβλήθηκε 390 φορές

$\displaystyle \frac{{PO}}{{PE}} = \frac{{OQ}}{{TE}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{r}{5}}}{{\frac{r}{5} + x}} = \frac{{\frac{{2r}}{5}}}{{\sqrt {r - x} \sqrt {r + x} }} \Leftrightarrow 125{x^2} + 40rx - 21{r^2} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0}$ $\boxed{x=\frac{7r}{25}}$

$\displaystyle \frac{{EP}}{{PB}} = \frac{{\frac{{7r}}{{25}} + \frac{r}{5}}}{{\frac{{4r}}{5}}} = \frac{3}{5},\frac{{TE}}{{TB}} = \frac{{\sqrt {r - x} \sqrt {r + x} }}{{\sqrt {2r} \sqrt {r + x} }} = \sqrt {\frac{{r - x}}{{2r}}} = ... = \frac{3}{5},$ άρα η

διχοτομεί τη

γωνία $E\widehat TB$ και κατά συνέπεια $\boxed{ST=SQ}$

Με Θαλή παίρνουμε $\displaystyle QT = \frac{{7r\sqrt 5 }}{{25}}$ κι επειδή $\displaystyle \cos \varphi = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$ με νόμο συνημιτόνων βρίσκουμε $\boxed{ST=SQ=\frac{7r}{20}}$

Ισότητα τμημάτων 41

Ισότητα τμημάτων 41

Re: Ισότητα τμημάτων 41

Re: Ισότητα τμημάτων 41

Μέλη σε σύνδεση