Τι μας διδάσκουν ;

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:

$\displaystyle{\mathcal{J}_1 = \int_0^1\int_0^1 \frac{x-y}{\max(x^3,y^3)}\,\mathrm{d}(x, y) \quad , \quad \mathcal{J}_2 = \int_0^1\int_0^1\frac{x-y}{\max(x^3,y^3)}\,\mathrm{d}(y, x)}$
Τι διδαχθήκατε μόλις τώρα;

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 10, 2018 3:36 pm
Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:

$\displaystyle{\mathcal{J}_1 = \int_0^1\int_0^1 \frac{x-y}{\max(x^3,y^3)}\,\mathrm{d}(x, y) \quad , \quad \mathcal{J}_2 = \int_0^1\int_0^1\frac{x-y}{\max(x^3,y^3)}\,\mathrm{d}(y, x)}$
Τι διδαχθήκατε μόλις τώρα;

Στο αριστερό, το μέσα ολοκλήρωμα είναι

$\displaystyle{\int_0^1 \frac{x-y}{\max(x^3,y^3)}\,\mathrm{dx}= \int_0^y \frac{x-y}{\max(x^3,y^3)}\,\mathrm{dx}+\int_y^1 \frac{x-y}{\max(x^3,y^3)}\,\mathrm{dx}=$

$\displaystyle{= \int_0^y \frac{x-y}{y^3}\,\mathrm{dx}+\int_y^1 \frac{x-y}{x^3}\,\mathrm{dx}= -\frac {1}{2y} -\frac {(1-y)^2}{2y} = \frac {y}{2}-1$
-

οπότε $\displaystyle{\mathcal{J}_1 = \int_0^1\left ( \frac {y}{2}-1 \right )dy= -\frac {3}{4}$

Με ακριβώς τον ίδιο τρόπο το δεξί ολοκλήρωμα ισούται $\dfrac {3}{4}$ .

Συμπέρασμα/δίδαγμα: Δεν κάνουμε αλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης (Fubini) αν δεν εξασφαλίσουμε τις προϋποθέσεις του θεωρήματος, γιατί μπορεί να βρούμε άλλη απάντηση.

Tolaso J Kos · #3

Ωραία. Τι θα συμβεί αν χρησιμοποιηθεί συμμετρία για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων ; Πού οφείλεται ότι η συμμετρία δίδει λάθος αποτέλεσμα ;

Τι μας διδάσκουν ;

Τι μας διδάσκουν ;

Re: Τι μας διδάσκουν ;

Re: Τι μας διδάσκουν ;

Μέλη σε σύνδεση