Ας προσεγγίσουμε το ένα ... δεύτερο

Tolaso J Kos · #1

Ας δηλώσουμε με $\mathcal{H}_n$ το

- οστό αρμονικό όρο. Δείξατε ότι:

$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} n \left(\mathcal{H}_n -\log n -\gamma \right) = \frac{1}{2}}$

Guardian · #2

Για τον Ν-οστό αρμονικό όρο έχουμε:

$\displaystyle H_{n}=log{n}+\gamma+\dfrac {1} {2n}+O(\dfrac {1} {n^2}).$

Οπότε :

$\displaystyle \displaystyle \lim_{n\to\infty} n(H_{n}-log{n}-\gamma)=\lim_{n\to\infty} (\dfrac {1} {2}+O(\dfrac 1 n))= \frac 1 2$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Guardian έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 10, 2018 4:14 pm
Για τον Ν-οστό αρμονικό όρο έχουμε:

$\displaystyle H_{n}=log{n}+\gamma+\dfrac {1} {2n}+O(\dfrac {1} {n^2}).$

Οπότε :

$\displaystyle \displaystyle \lim_{n\to\infty} n(H_{n}-log{n}-\gamma)=\lim_{n\to\infty} (\dfrac {1} {2}+O(\dfrac 1 n))= \frac 1 2$

Ωραία αλλά αυτό

$\displaystyle H_{n}=log{n}+\gamma+\dfrac {1} {2n}+O(\dfrac {1} {n^2}).$

πως αποδεικνύεται;

Tolaso J Kos · #4

Σταύρο ,

γνωστός τύπος είναι . Το βρίσκει κάποιος και στη Wikipedia ... Αν θέλουμε απόδειξη ένας τρόπος ειναι να χρησιμοποιήσουμε το Euler - MacLaurin formula ..!!!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 11, 2018 3:15 pm
Σταύρο ,

γνωστός τύπος είναι . Το βρίσκει κάποιος και στη Wikipedia ... Αν θέλουμε απόδειξη ένας τρόπος ειναι να χρησιμοποιήσουμε το Euler - MacLaurin formula ..!!!

Τόλη είναι γνωστός σε εσένα.
Αυτό που ξέρει ο περισσότερος κόσμος είναι ότι

$H_{n}-\log n-\gamma \rightarrow 0$

Εξάλλου αν θεωρήσουμε ότι είναι γνωστό τότε η άσκηση είναι τετριμμένη.

Για την απόδειξη δεν χρειάζεται ο Euler - MacLaurin.

Μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας την κυρτότητα της $\frac{1}{x}$

και κάποιες στοιχειώδεις εκτιμήσεις.

Tolaso J Kos · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 11, 2018 3:45 pm
Για την απόδειξη δεν χρειάζεται ο Euler - MacLaurin.

Μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας την κυρτότητα της $\frac{1}{x}$

και κάποιες στοιχειώδεις εκτιμήσεις.

Ενδιαφέρον . Σκιαγράφηση της απόδειξης;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 12, 2018 7:33 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 11, 2018 3:45 pm
Για την απόδειξη δεν χρειάζεται ο Euler - MacLaurin.

Μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας την κυρτότητα της $\frac{1}{x}$

και κάποιες στοιχειώδεις εκτιμήσεις.
Ενδιαφέρον . Σκιαγράφηση της απόδειξης;

Το πρόβλημα είναι το σχήμα που δεν μπορώ να κάνω.

Θα το περιγράψω.

Σχεδιάζουμε την $\dfrac{1}{x},x\geq 1$ και στο [n,n+1]

το ορθογώνιο με βάση το [n,n+1]

και ύψος το
$\frac{1}{n}$

Το $\gamma$ είναι το άθροισμα των εμβαδών μέσα στα ορθογώνια που είναι πάνω από την $\dfrac{1}{x},x\geq 1$ .

Θέτουμε $a_{n}=H_{n-1}-\log n-\gamma$

Αυτή η ακολουθία είναι το άθροισμα των εμβαδών μέσα στα ορθογώνια που είναι πάνω από την $\dfrac{1}{x},x\geq 1$
από το

και πέρα.

Αν φέρουμε το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα $(k,\frac{1}{k}),(k+1,\frac{1}{k+1})$ το άθροισμα των εμβαδών των

τριγώνων από το

και πέρα εύκολα υπολογίζεται γεωμετρικά ότι είναι $\frac{1}{2n}$

Ετσι παίρνουμε ότι

$a_{n}=\frac{1}{2n}+\sum_{k=n}^{\infty }\int_{k}^{k+1}(\frac{1}{2}(\frac{1}{k}+\frac{1}{k +1})-\frac{1}{x})dx$

Υπολογίζοντας τα ολοκληρώματα η χρησιμοποιώντας τον τύπο του τραπεζίου βγαίνουν $O(\frac{1}{k^{3}})$

Επειδή $\sum_{k=n}^{\infty }\frac{1}{k^{3}}=O(\frac{1}{n^{2}})$

παίρνουμε το ζητούμενο.

Ας προσεγγίσουμε το ένα ... δεύτερο

Ας προσεγγίσουμε το ένα ... δεύτερο

Re: Ας προσεγγίσουμε το ένα ... δεύτερο

Re: Ας προσεγγίσουμε το ένα ... δεύτερο

Re: Ας προσεγγίσουμε το ένα ... δεύτερο

Re: Ας προσεγγίσουμε το ένα ... δεύτερο

Re: Ας προσεγγίσουμε το ένα ... δεύτερο

Re: Ας προσεγγίσουμε το ένα ... δεύτερο

Μέλη σε σύνδεση