Σειρά Fourier

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται η συνάρτηση $f(x) = \log \left(1 - \cos x \right) \; , \; x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ .

Να αναπτυχθεί η σε σειρά Fourier.
Να εξεταστεί αν η σειρά Fourier συγκλίνει ομοιόμορφα στην .

#2

Είναι γνωστό ότι
$\log(\sin{t})=-\log2-\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2nt)}{n}\,,\quad t\in(0,\pi)\,,\quad(1)$
Τότε

$\begin{aligned} \log(1-\cos{x})&=\log\big(2\sin^2\tfrac{x}{2}\big)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\log2+2\log\big(\sin\tfrac{x}{2}\big)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &\stackrel{(1)}{=}\log2-2\log2-2\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2n\frac{x}{2})}{n}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=-\log2-2\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n}\qquad\qquad\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \log(1-\sin{x})&=\log\big(1-\cos\big(\tfrac{\pi}{2}-x\big)\big)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=-\log2-2\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\cos\big(n\big(\frac{\pi}{2}-x\big)\big)}{n}\,.\end{aligned}$

Tolaso J Kos · #3

grigkost έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 05, 2018 8:16 am
Είναι γνωστό ότι
$\log(\sin{t})=-\log2-\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2nt)}{n}\,,\quad t\in\big(0,\tfrac{\pi}{2}\big)$

Φαίνεται να είναι μονόδρομος η παραπάνω ταυτότητα. Αν πάει κανείς να υπολογίσει τα αντίστοιχα ολοκληρώματα κολλάει.

Σημείωση: Μένει το δεύτερο ερώτημα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Το ii είναι άμεσο.

Τα μερικά αθροίσματα είναι συνεχείς συναρτήσεις.

Αν συγκλίνουν ομοιόμορφα τότε η συνάρτηση που συγκλίνουν

πρέπει να είναι συνεχής.

Εδώ η συνάρτηση δεν είναι συνεχής.

(απειρίζεται στα άκρα)

Για το i

Πρέπει να πούμε τι ανάπτυξη θέλουμε.
Σε ημίτονα ,συνημίτονα ,η και στα δύο.

Για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον πυρήνα
του Dirichlet και τον συζυγή του.

Δηλαδή

$D_{n}(x)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos kx=\dfrac{\sin (n+\frac{1}{2})x}{2 \sin \frac{1}{2}x}$

Βάζοντας όπου

το

γίνεται

$\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos 2kx=\dfrac{\sin (2n+1)x}{2 \sin x}$

και ολοκληρώνοντας κατάλληλα μπορούμε να υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα.

Tolaso J Kos · #5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 05, 2018 12:05 pm
Για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον πυρήνα
του Dirichlet και τον συζυγή του.

Δηλαδή

$D_{n}(x)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos kx=\dfrac{\sin (n+\frac{1}{2})x}{2 \sin \frac{1}{2}x}$

Βάζοντας όπου το γίνεται

$\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos 2kx=\dfrac{\sin (2n+1)x}{2 \sin x}$

και ολοκληρώνοντας κατάλληλα μπορούμε να υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα.

Δε βλέπω πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το πυρήνα για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος $\displaystyle{\int_0^{\pi/2} \log \left( 1 - \cos x \right) \, \mathrm{d}x}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 05, 2018 8:21 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 05, 2018 12:05 pm
Για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον πυρήνα
του Dirichlet και τον συζυγή του.

Δηλαδή

$D_{n}(x)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos kx=\dfrac{\sin (n+\frac{1}{2})x}{2 \sin \frac{1}{2}x}$

Βάζοντας όπου το γίνεται

$\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos 2kx=\dfrac{\sin (2n+1)x}{2 \sin x}$

και ολοκληρώνοντας κατάλληλα μπορούμε να υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα.
Δε βλέπω πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το πυρήνα για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος $\displaystyle{\int_0^{\pi/2} \log \left( 1 - \cos x \right) \, \mathrm{d}x}$ .

Τα ολοκληρώματα που πρέπει να υπολογίσουμε είναι αριθμήσιμα.

Αυτό που αναφέρεις είναι το μόνο που δεν χρησιμοποιείται ο πυρήνας.

Αναφέρομαι δε στα ολοκληρώματα της σχέσης (1) του Γρηγόρη.

Tolaso J Kos · #7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 05, 2018 9:57 pm
Αναφέρομαι δε στα ολοκληρώματα της σχέσης (1) του Γρηγόρη.

Ποια είναι αυτά ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 06, 2018 3:49 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 05, 2018 9:57 pm
Αναφέρομαι δε στα ολοκληρώματα της σχέσης (1) του Γρηγόρη.
Ποια είναι αυτά ;

grigkost έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 05, 2018 8:16 am
Είναι γνωστό ότι
$\log(\sin{t}) =-\log2-\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2nt)}{n}\,,\quad t\in(0,\pi)\,,\quad(1)$

Η απόδειξη της (1) όπως είναι στο γνωστό
θέλει δικαιολόγηση.Είναι μια ''τυπική'' απόδειξη.

Μπορεί να γίνει ως εξής.

Θεωρούμε την άρτια $f(x)=\log \left | \sin x \right |,x\in (-\pi ,\pi )-\left \{ 0 \right \},f(0)=f(-\pi)=f(\pi)=0$

και βρίσκουμε την σειρά Fourier της.

Οπότε πρέπει να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα

$\int_{0}^{\pi }\log(\sin{t})dt, \int_{0}^{\pi }\log(\sin{t})\cos ntdt,n=1,2,....$

Η ισότητα της σειράς Fourier με την συνάρτηση στο $(0,\pi )$

ισχύει γιατί σε αυτό το διάστημα η συνάρτηση είναι παραγωγίσημη.

Συμπλήρωμα. Διόρθωσα αβλεψία στις τιμές της συνάρτησης στα άκρα

Tolaso J Kos · #9

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 06, 2018 6:17 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 06, 2018 3:49 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 05, 2018 9:57 pm
Αναφέρομαι δε στα ολοκληρώματα της σχέσης (1) του Γρηγόρη.
Ποια είναι αυτά ;

Η απόδειξη της (1) όπως είναι στο γνωστό

Α, δεν είδα ότι είχε παραπομπή ο Γρηγόρης.

Σειρά Fourier

Σειρά Fourier

Re: Σειρά Fourier

Re: Σειρά Fourier

Re: Σειρά Fourier

Re: Σειρά Fourier

Re: Σειρά Fourier

Re: Σειρά Fourier

Re: Σειρά Fourier

Re: Σειρά Fourier

Μέλη σε σύνδεση