Ας προσεγγίσουμε το ... τίποτα

Tolaso J Kos · #1

Ορίζουμε $\displaystyle{\widetilde{\mathcal{H}_{n}}=\sum_{j=1}^{n}\frac{\left ( -1 \right )^{j-1}}{j}}$ . Τι μπορείτε να πείτε για το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n\rightarrow +\infty }n\left [ \widetilde{\mathcal{H}_{n}}-\mathcal{H}_{2n}+\mathcal{H}_n \right ]}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 04, 2018 9:30 pm
Ορίζουμε $\displaystyle{\widetilde{\mathcal{H}_{n}}=\sum_{j=1}^{n}\frac{\left ( -1 \right )^{j-1}}{j}}$ . Τι μπορείτε να πείτε για το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n\rightarrow +\infty }n\left [ \widetilde{\mathcal{H}_{n}}-\mathcal{H}_{2n}+\mathcal{H}_n \right ]}$

Το όριο δεν υπάρχει.
Αν θέσουμε

$\displaystyle a_{n}=n\left [ \widetilde{\mathcal{H}_{n}}-\mathcal{H}_{2n}+\mathcal{H}_n \right ]}$

τότε $a_{2n}\rightarrow -\frac{1}{4}$ (1)

και $a_{2n+1}\rightarrow 1-\frac{1}{4}$ (2)

Αν χωρίσουμε τα θετικά και αρνητικά και προσθαφαιρέσουμε τα αρνητικά παίρνουμε ότι

$\widetilde{\mathcal{H}_{2n}}={\mathcal{H}_{2n}}-{\mathcal{H}_{n}}\wedge \widetilde{\mathcal{H}_{2n+1}}={\mathcal{H}_{2n}}-{\mathcal{H}_{n}}+\frac{1}{2n+1}$

Χρησιμοποιώντας το ''γνωστό''

${\mathcal{H}_{n}}=\log n+\frac{1}{2n}+\gamma +O(\frac{1}{n^{2}})$

προκύπτουν οι (1),(2).

Ας προσεγγίσουμε το ... τίποτα

Ας προσεγγίσουμε το ... τίποτα

Re: Ας προσεγγίσουμε το ... τίποτα

Μέλη σε σύνδεση