Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
Συντονιστής: gbaloglou
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
Ε.Μ.Ε. 1983: να εξεταστεί αν υπάρχει στρεβλό πεντάγωνο (στον χώρο) με όλες τις πλευρές ίσες και όλες τις γωνίες ορθές.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
... 'καρεκλάκι', όπως είπε και η Λένα
ΔΙΕΥΚΡΙΝΗΣΗ 3-7-2018 3:40 μμ: το είπε για μια επιπλέον πλευρά, όχι για μια επιπλέον διάσταση -- δικό μου το λάθος!
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
πεντάγωνο
με
και
Έστω επίπεδο τέτοιο ώστε
Έστω οι προβολές των στο .
και
Από θεώρημα των 3 καθέτων :
ορθογώνιο τρίγωνο ,άρα
ομοίως
και
Από θεώρημα των 3 καθέτων :
ορθογώνιο τρίγωνο ,άρα
'Εστω το σημείο τομής των προεκτάσεων των
Έστω η προβολή του σε επίπεδο τέτοιο ώστε
και
Από θεώρημα 3 καθέτων :
Άρα ορθογώνια τρίγωνα .
και
(1)
Έστω η προβολή του σε επίπεδο τέτοιο ώστε
και
Από θεώρημα 3 καθέτων :
Άρα ορθογώνια τρίγωνα .
και
(2)
Aπό (1), (2)
ΑΤΟΠΟ .
τελευταία επεξεργασία από mikemoke σε Δευ Ιούλ 09, 2018 5:55 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
Γράφω μια διαφορετική λύση.
Αν και είναι καθαρά γεωμετρική θα χρησιμοποιήσω συντεταγμένες για να είναι πιο εύκολο
να κατασκευασθεί το σχήμα.
Εστω το πεντάγωνο με όλες τις γωνίες ορθές και όλες τις πλευρές .
Θα καταλήξουμε σε άτοπο.
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι .
Επίσης έστω η αρχή των αξόνων .
Είναι φανερό γεωμετρικά ότι το βρίσκεται στο επίπεδο και το στο επίπεδο .
Από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε
ενω από το έχουμε
Αρα το βρίσκεται στο μεσοκάθετο επίπεδο του .
Αρα βρίσκεται στην ευθεία του επιπέδου που είναι μεσοκάθετος του .
Αν το μέσο του τότε επειδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο υπολογίζουμε ότι
Κάνοντας τα ίδια για το βρίσκουμε ότι βρίσκεται στην ευθεία του επιπέδου που είναι μεσοκάθετος του
τμήματος
Αν το μέσο του υπολογίζουμε ότι
Αν τα βρίσκονται στον ίδιο ημίχωρο που ορίζει το επίπεδο
τότε επειδή το είναι ορθογώνιο βρίσκουμε ότι
ΑΤΟΠΟ.
Αν τα βρίσκονται σε διαφορετικό ημίχωρο που ορίζει το επίπεδο
τότε το είναι παραλληλόγραμμο και ένας υπολογισμός δίνει
ΑΤΟΠΟ.
Αρα δεν υπάρχει.
Αν και είναι καθαρά γεωμετρική θα χρησιμοποιήσω συντεταγμένες για να είναι πιο εύκολο
να κατασκευασθεί το σχήμα.
Εστω το πεντάγωνο με όλες τις γωνίες ορθές και όλες τις πλευρές .
Θα καταλήξουμε σε άτοπο.
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι .
Επίσης έστω η αρχή των αξόνων .
Είναι φανερό γεωμετρικά ότι το βρίσκεται στο επίπεδο και το στο επίπεδο .
Από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε
ενω από το έχουμε
Αρα το βρίσκεται στο μεσοκάθετο επίπεδο του .
Αρα βρίσκεται στην ευθεία του επιπέδου που είναι μεσοκάθετος του .
Αν το μέσο του τότε επειδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο υπολογίζουμε ότι
Κάνοντας τα ίδια για το βρίσκουμε ότι βρίσκεται στην ευθεία του επιπέδου που είναι μεσοκάθετος του
τμήματος
Αν το μέσο του υπολογίζουμε ότι
Αν τα βρίσκονται στον ίδιο ημίχωρο που ορίζει το επίπεδο
τότε επειδή το είναι ορθογώνιο βρίσκουμε ότι
ΑΤΟΠΟ.
Αν τα βρίσκονται σε διαφορετικό ημίχωρο που ορίζει το επίπεδο
τότε το είναι παραλληλόγραμμο και ένας υπολογισμός δίνει
ΑΤΟΠΟ.
Αρα δεν υπάρχει.
Re: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
Γιώργο καλημέρα σε σένα και στους συνομιλητές σου...
Παρουσιάζω και μια άλλη ιδέα
Κατ' αρχήν σε ένα πεντάγωνο του επιπέδου δεν μπορεί να συμβεί κάτι τέτοιο γιατί σε κάθε κυρτό πεντάγωνο το άθροισμα
των γωνιών του είναι ίσο με και όχι ίσο με .
Για ένα πεντάγωνο στο χώρο των τριών διαστάσεων θα δείξουμε στη συνέχεια τις δυο ακόλουθες προτάσεις:
1η) Μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα πεντάγωνο στον ευρύτερο χώρο των τριών διαστάσεων στο οποίο όλες οι πλευρές του
να είναι ίσες καθώς κι από τις πέντε γωνίες του οι τέσσερις να είναι ορθές.
2η) Σε ένα τέτοιο πεντάγωνο η πέμπτη γωνία είναι πάντα ή αμβλεία ή οξεία.
Απόδειξη της πρώτης πρότασης:
Εργαζόμαστε στο πρώτο σχήμα:
Επειδή θέλουμε να είναι:
και
άρα οι τέσσερις από τις πέντε διαγώνιες αυτού, είναι ίσες. Δηλαδή:
ως υποτείνουσες ισοσκελών ορθογωνίων τριγώνων με πλευρά ίση με .
Από τα ανωτέρω προκύπτει αμέσως η ακόλουθη κατασκευή στο δεύτερο σχήμα:
Σε ένα τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων θεωρούμε το τμήμα , όπου είναι η αρχή των αξόνων
και στον άξονα των .
(ο άξονας των είναι με χρώμα κόκκινο, ο άξονας των με πράσινο και ο άξονας των με γαλάζιο)
Στο επίπεδο κατασκευάζουμε το ισοσκελές τρίγωνο , όπου .
Στο μεσοκάθετο επίπεδο της πλευράς γράφουμε κύκλο με κέντρο το μέσον αυτής και ακτίνα το μέσον της πλευράς
αυτής. Ο κύκλος αυτός τέμνει το επίπεδο εξίσωση σε δύο σημεία τα και .
Όμοια εργαζόμαστε και με την πλευρά και κατασκευάζουμε άλλα δύο σημεία. Έστω ότι το ένα από αυτά είναι το .
Εύκολα τώρα φαίνεται ότι το πεντάγωνο έχει πέντε πλευρές ίσες με και τέσσερις ορθές γωνίες.
Με τον τρόπο αυτό πετυχαίνουμε τέσσερα τέτοια πεντάγωνα τα οποία φαίνονται στο τρίτο σχήμα.
Στο σχήμα αυτό βλέπουμε τα τέσσερα τέτοια πεντάγωνα:
τα οποία σχηματίζουν μια πυραμίδα με βάση ένα παραλληλόγραμμο και ένα τριγωνικό πρίσμα
τα οποία μοιάζουν με ένα αρθρωτό κιόσκι!
(Συνεχίζεται....)
Κώστας Δόρτσιος
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
Δίνω και την δική μου προσέγγιση.
Γράφω για τα διανύσματα των (διαδοχικών) πλευρών του πενταγώνου. Τότε είναι
και χωρίς βλάβη της γενικότητας
Παίρνοντας το εσωτερικό γινόμενο βρίσκω ότι . Από συμμετρία είναι και . Άρα . Πάλι από συμμετρία έχω:
Δηλαδή οι γωνίες μεταξύ των μη κάθετων διανυσμάτων είναι .
Επειδή το είναι κάθετο τόσο στο όσο και στο και επειδή επίσης τα δεν είναι παράλληλα, το θα είναι παράλληλο στο . Γνωρίζοντας τις γωνίες μεταξύ των διανυσμάτων παίρνουμε
Παίρνοντας εξωτερικό γινόμενο με το έχω
Όμως από συμμετρία έχω επίσης ότι
ή
Αυτό είναι άτοπο.
Γράφω για τα διανύσματα των (διαδοχικών) πλευρών του πενταγώνου. Τότε είναι
και χωρίς βλάβη της γενικότητας
Παίρνοντας το εσωτερικό γινόμενο βρίσκω ότι . Από συμμετρία είναι και . Άρα . Πάλι από συμμετρία έχω:
Δηλαδή οι γωνίες μεταξύ των μη κάθετων διανυσμάτων είναι .
Επειδή το είναι κάθετο τόσο στο όσο και στο και επειδή επίσης τα δεν είναι παράλληλα, το θα είναι παράλληλο στο . Γνωρίζοντας τις γωνίες μεταξύ των διανυσμάτων παίρνουμε
Παίρνοντας εξωτερικό γινόμενο με το έχω
Όμως από συμμετρία έχω επίσης ότι
ή
Αυτό είναι άτοπο.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
ΑΡΕΤΗ ΜΕ ΤΙΣ ΤΕΣΣΕΡΙΣ ΟΡΘΕΣ ΓΩΝΙΕΣ (Οδυσσέας Ελύτης, ΑΞΙΟΝ ΕΣΤΙ)
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
Όπως δείχνει και το συνημμένο, η αρχική μου προσέγγιση (ΦΒ) ήταν γεωμετρικοτριγωνομετρική, με κεντρικό στόχο την ισότητα , η οποία προκύπτει από τις δοθείσες καθετότητες και οδηγεί γρήγορα σε άτοπο (, αν θυμάμαι σωστά). Εναλλακτικά, αν μπορούσαμε να αποδείξουμε την (που σίγουρα προκύπτει ΚΑΙ από την ) τότε θα είχαμε μία γεωμετρικότερη απόδειξη (καθώς το θα ήταν ισοσκελές τραπέζιο με ορθές γωνίες, κλπ).
Τέλος πάντων, η αρχική μου προσέγγιση μπορεί να τροποποιηθεί, και η όποια τριγωνομετρία να αφαιρεθεί:
Χρησιμοποιώντας τις δύο υποθέσεις (όλες οι πλευρές ίσες προς , και, λόγω Πυθαγορείου Θεωρήματος και ορθών γωνιών, όλες οι διαγώνιοι ίσες προς ), καταλήγουμε στις ισότητες
και
που δεν μπορούν να ισχύουν ταυτόχρονα (καθώς η δεύτερη δίνει και , τιμές που δεν επαληθεύουν μέρος της πρώτης).
Τέλος πάντων, η αρχική μου προσέγγιση μπορεί να τροποποιηθεί, και η όποια τριγωνομετρία να αφαιρεθεί:
Χρησιμοποιώντας τις δύο υποθέσεις (όλες οι πλευρές ίσες προς , και, λόγω Πυθαγορείου Θεωρήματος και ορθών γωνιών, όλες οι διαγώνιοι ίσες προς ), καταλήγουμε στις ισότητες
και
που δεν μπορούν να ισχύουν ταυτόχρονα (καθώς η δεύτερη δίνει και , τιμές που δεν επαληθεύουν μέρος της πρώτης).
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
Συγκεκριμένα δεν επαληθεύεται η : ας το εκμεταλλευτούμε αυτό για την παραγωγή πενταγώνων με πέντε ορθές γωνίες και με τέσσερις ίσες πλευρές -- κάτι που ίσως ήδη απασχολεί τον Κώστα Δόρτσιοgbaloglou έγραψε: ↑Τετ Ιούλ 04, 2018 11:43 pmΧρησιμοποιώντας τις δύο υποθέσεις (όλες οι πλευρές ίσες προς , και, λόγω Πυθαγορείου Θεωρήματος και ορθών γωνιών, όλες οι διαγώνιοι ίσες προς ), καταλήγουμε στις ισότητες
και
που δεν μπορούν να ισχύουν ταυτόχρονα (καθώς η δεύτερη δίνει και , τιμές που δεν επαληθεύουν μέρος της πρώτης).
Ας αναζητήσουμε λοιπόν πεντάγωνα με και , καθώς, λόγω ορθότητας και των υπολοίπων γωνιών, και με και . Θέτοντας, όπως ακριβώς στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση (και στο σχήμα της) προκύπτουν οι μη τετριμμένες ισότητες
Εύκολα λαμβάνουμε από τις παραπάνω ισότητες τις
από τις οποίες προκύπτει άμεσα η : δυστυχώς, και αντίθετα προς ότι νόμισα στην αρχή, η σχέση αυτή δεν επιτρέπει μεγάλη βιοποικιλότητα πενταγώνων, καθώς άμεσα έπεται η και τελικά τα μόνα μη τετριμμένα πεντάγωνα με τις επιθυμητές ιδιότητες είναι αυτό με & και αυτό με & : και στις δύο περιπτώσεις ισχύει η (που ήδη είχα ανεπίσημα αναφέρει χθες, ως προκύπτουσα από την τριγωνομετρική προσέγγιση και την ). [Από προκύπτουν οι και , ενώ από προκύπτουν οι και , κλπ]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
Συνέχεια....KDORTSI έγραψε: ↑Τετ Ιούλ 04, 2018 8:17 am.....................................
Για ένα πεντάγωνο στο χώρο των τριών διαστάσεων θα δείξουμε στη συνέχεια τις δυο ακόλουθες προτάσεις:
1η) Μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα πεντάγωνο στον ευρύτερο χώρο των τριών διαστάσεων στο οποίο όλες οι πλευρές του
να είναι ίσες καθώς κι από τις πέντε γωνίες του οι τέσσερις να είναι ορθές.
2η) Σε ένα τέτοιο πεντάγωνο η πέμπτη γωνία είναι πάντα ή αμβλεία ή οξεία.
....................................
Θα δείξουμε τη δεύτερη πρόταση.
Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:
Θα μελετήσουμε κατ' αρχήν τη γωνία που σχηματίζει η πλευρά με το οριζόντιο επίπεδο
Από το μέσο της φέρουμε κάθετη προς το επίπεδο και στη συνέχεια φέρουμε τα τμήματα:
Τότε είναι:
Από το ορθογώνιο τρίγωνο προκύπτει:
Έτσι από τις (1) και (4) προκύπτει ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές και από αυτό
μπορούμε να υπολογίσουμε το συνημίτονο της γωνίας .
Έτσι είναι:
Στη συνέχεια προβάλλω στον ορίζοντα την κορυφή κι έτσι η γωνία του ορθογωνίου τριγώνου
έχει:
και επειδή:
θα είναι:
Αν εργαστούμε τώρα με τον ίδιο τρόπο θα βρούμε ότι και η γωνία έχει το ίδιο συνημίτονο και συνεπώς
είναι ίση με την . Δηλαδή:
Από την (8) προκύπτει ότι η διαγώνιος είναι παράλληλη προς το οριζόντιο επίπεδο.
Αν τώρα προβάλλουμε το στο και θεωρήσω το συμμετρικό του ως προς κέντρο
το σημείο , όπως φαίνεται εξάλλου και στο σχήμα, τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο θα
είναι:
ή ακόμα:
Εύκολα τώρα από την (9) και την (7) προκύπτει ότι:
Δηλαδή η γωνία είναι μεγαλύτερη της ορθής, πράγμα που θέλαμε να δείξουμε.
Όμοια δουλεύουμε και για τις άλλες τρεις περιπτώσεις των πενταγώνων που αναφέραμε στο
προηγούμενο μήνυμα.
Κώστας Δόρτσιος
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
Κώστα όντως συνέχισες με την 2η πρόταση, συνεχίζω τώρα και εγώ με ακριβείς υπολογισμούς των γωνιών και (αλλά και εναλλακτικό/αλγεβρικότερο τρόπο προσδιορισμού των τεσσάρων πενταγώνων) ... στο πνεύμα της τελευταίας μου δημοσίευσης (όπου ασχολήθηκα με την λιγότερο ενδιαφέρουσα περίπτωση των τεσσάρων ίσων πλευρών και των πέντε ορθών γωνιών).KDORTSI έγραψε: ↑Τετ Ιούλ 04, 2018 8:17 amΓιώργο καλημέρα σε σένα και στους συνομιλητές σου...
Παρουσιάζω και μια άλλη ιδέα
Κατ' αρχήν σε ένα πεντάγωνο του επιπέδου δεν μπορεί να συμβεί κάτι τέτοιο γιατί σε κάθε κυρτό πεντάγωνο το άθροισμα
των γωνιών του είναι ίσο με και όχι ίσο με .
Για ένα πεντάγωνο στο χώρο των τριών διαστάσεων θα δείξουμε στη συνέχεια τις δυο ακόλουθες προτάσεις:
1η) Μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα πεντάγωνο στον ευρύτερο χώρο των τριών διαστάσεων στο οποίο όλες οι πλευρές του
να είναι ίσες καθώς κι από τις πέντε γωνίες του οι τέσσερις να είναι ορθές.
2η) Σε ένα τέτοιο πεντάγωνο η πέμπτη γωνία είναι πάντα ή αμβλεία ή οξεία.[\quote]
[\quote]Στο σχήμα αυτό βλέπουμε τα τέσσερα τέτοια πεντάγωνα:
τα οποία σχηματίζουν μια πυραμίδα με βάση ένα παραλληλόγραμμο και ένα τριγωνικό πρίσμα
τα οποία μοιάζουν με ένα αρθρωτό κιόσκι!
(Συνεχίζεται....)
Θέτουμε λοιπόν ... και αναζητούμε ΔΥΟ ενδιάμεσα σημεία & τέτοια ώστε το πεντάγωνο να έχει όλες τις πλευρές ίσες (προς ) και τις γωνίες ορθές.
Η ισότητα των τεσσάρων υπολοίπων πλευρών προς μας δίνει τις εξισώσεις
ενώ η ορθότητα των τεσσάρων γωνιών μας δίνει τις εξισώσεις
Το φαινομενικά πολύπλοκο σύστημα στο οποίο καταλήξαμε 'ξετυλίγεται' αρκετά εύκολα, δίνοντας εξ αρχής , σε δεύτερη φάση , σε τρίτη φάση ... και, τελικά, , , .
Στο παραπάνω αποτέλεσμα ... το αν θα επιλέξουμε το ή το για τα αποφασίζει απλώς και μόνον αν το πεντάγωνο μας θα βρίσκεται στο βόρειο ή στο νότιο ημισφαίριο. Αντίθετα, το αν θα επιλέξουμε ή για το (ξεκινώντας από την ) ή για το (ξεκινώντας από την ) ... οδηγεί σε περιπτώσεις και πεντάγωνα! Συγκεκριμένα, καταλήγουμε στα εξής πεντάγωνα:
[πεντάγωνο ]
[πεντάγωνο ]
[πεντάγωνο ]
[πεντάγωνο ]
- Συνημμένα
-
- αρθρωτό-κιόσκι.png (24.97 KiB) Προβλήθηκε 1181 φορές
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
Αναλογίζομαι -- όσο μου επιτρέπουν η ζέστη, η πίτα και η οξεία προημιτελικίτιδα -- τους υπολογισμούς της προηγούμενης δημοσίευσης μου ... και σκέφτομαι ότι κάποια πράγματα είναι προφανή, όπως οι ισότητες , (καθώς τα //, // οφείλουν να κείνται επί κύκλων κέντρων , (και ακτίνας ) καθέτων στην ) ή η ισότητα (που προκύπτει άμεσα από διπλή εφαρμογή του Πυθαγορείου Θεωρήματος στα και ), κάποια όχι και τόσο...
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
Γιώργο, καλησπέρα από τα Γρεβενά.
Προχώρησες πολύ το θέμα. Εγώ προσθέτω ένα δυναμικό αρχείο σύμφωνα με τα μέχρι τώρα στοιχεία
που παραθέσαμε κι έκανα ένα παιχνίδι σαν εκείνες τις κατασκευές με σπιρτόξυλα!
Από πέντε σπιρτόξυλα με κάποιες μετακινήσεις - γεωμετρικούς μετασχηματισμούς, φτιάχνουμε ένα από
τα τέσσερα πεντάγωνα που αναφέρθηκαν προηγουμένως.
Ακόμα αν προσέξει κανείς τις οδηγίες που έχω στο δυναμικό σχήμα θα απολαύσει και κάποιες
σχοινοκατασκευές καθώς κι ένα πεντάγωνο - "αράχνη".
Τελικά το στερεό που προκύπτει ζητά τον υπολογισμό της επιφάνειας και του όγκου του.
Κώστας Δόρτσιος
Προχώρησες πολύ το θέμα. Εγώ προσθέτω ένα δυναμικό αρχείο σύμφωνα με τα μέχρι τώρα στοιχεία
που παραθέσαμε κι έκανα ένα παιχνίδι σαν εκείνες τις κατασκευές με σπιρτόξυλα!
Από πέντε σπιρτόξυλα με κάποιες μετακινήσεις - γεωμετρικούς μετασχηματισμούς, φτιάχνουμε ένα από
τα τέσσερα πεντάγωνα που αναφέρθηκαν προηγουμένως.
Ακόμα αν προσέξει κανείς τις οδηγίες που έχω στο δυναμικό σχήμα θα απολαύσει και κάποιες
σχοινοκατασκευές καθώς κι ένα πεντάγωνο - "αράχνη".
Τελικά το στερεό που προκύπτει ζητά τον υπολογισμό της επιφάνειας και του όγκου του.
Κώστας Δόρτσιος
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
Κώστα για μένα ήταν πολύ ενδιαφέρον ότι εσύ ξεκινάς από μια πλευρά, ενώ εγώ από μια κορυφή! Η ιδέα σου -- στην οποία ανταποκρίθηκα εις το έπακρον -- να αναζητήσεις τα 'τετρορθογώνια' ισόπλευρα πεντάγωνα που αντιστοιχούν σ'αυτήν την μία πλευρά έξοχη, το ίδιο ως συνήθως και τα σχήματα σου ... μόνο που το τελευταίο το δυναμικό δεν μπορώ να το απολαύσω ... καθώς δεν έχω το geogebra και δεν βρίσκω αξιοπρεπή τρόπο να το κατεβάσω
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 14 επισκέπτες