Υπάρχει συνάρτηση

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι υπάρχει συνάρτηση $\theta:\mathbb{R}^2 \rightarrow [0, 1]$ για την οποία ισχύει:

$\displaystyle{\sin (x+y) = x+y - \frac{1}{2} \left( x^2+2xy + y^2 \right) \sin \left( \theta(x, y) (x+y) \right)}$
Από σημερινή εξέταση Απ. III σε κάποιο μαθηματικό τμήμα. Συμπαθητικό ερώτημα για να ξεφύγουμε και λίγο από το κλίμα των πανελληνίων.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

$\theta(x, y) (x+y)=f(x+y)$

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 12, 2018 6:36 pm
Να δειχθεί ότι υπάρχει συνάρτηση $\theta:\mathbb{R}^2 \rightarrow [0, 1]$ για την οποία ισχύει:

$\displaystyle{\sin (x+y) = x+y - \frac{1}{2} \left( x^2+2xy + y^2 \right) \sin \left( \theta(x, y) (x+y) \right)}$
Από σημερινή εξέταση Απ. III σε κάποιο μαθηματικό τμήμα. Συμπαθητικό ερώτημα για να ξεφύγουμε και λίγο από το κλίμα των πανελληνίων.

Η σχέση γράφεται
$\displaystyle{\sin (x+y) = x+y - \frac{1}{2} \left( x+y \right)^2 \sin \left( \theta(x, y) (x+y) \right)}$
Θα δείξουμε ότι

$\theta(x, y) =f(x+y)$ όπου $f:\mathbb{R}\rightarrow [0,1]$

Από ανάπτυγμα Taylor έχουμε $\sin t=t-\frac{1}{2}t^{2}\sin \xi (t)$

οπου το $\xi (t)$ είναι μεταξύ του

και

και $\xi (0)=0$ .

Λόγω περιοδικότητας το $\xi (t)$ είναι μοναδικό αν το περιορίσουμε στο $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

Θέτουμε $f(t)=\dfrac{\xi (t)}{t},t\neq 0,f(0)=0$

Επειδή για $t\neq 0$

είναι $0<\xi (t)<t ,\veebar -t<\xi (t)<0$

βλέπουμε ότι $\left | f(t) \right |< 1$

Προφανώς η $\theta(x, y) =f(x+y)$

είναι αυτή που θέλουμε.

Υπάρχει συνάρτηση

Υπάρχει συνάρτηση

Re: Υπάρχει συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση