Άλλος λόγος

KARKAR · #1

: Άλλος λόγος.png (20.58 KiB) Προβλήθηκε 552 φορές

Δύο κύκλοι (O,r)

και

, με

, τέμνονται στα σημεία A,B

.

Σημείο

κινείται στον (K)

"ανατολικότερα" της κοινής χορδής , ώστε η

να τέμνει τον (O)

σε σημείο

. Δείξτε ότι ο λόγος $\dfrac{SA}{ST}$ παραμένει σταθερός .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 11, 2018 9:14 pm
Δύο κύκλοι και , με , τέμνονται στα σημεία .

Σημείο κινείται στον "ανατολικότερα" της κοινής χορδής , ώστε η

να τέμνει τον σε σημείο . Δείξτε ότι ο λόγος $\dfrac{SA}{ST}$ παραμένει σταθερός .

Από τον Νόμο των ημιτόνων

$\dfrac{SA}{ST} = \dfrac {\sin (\angle STA )}{\sin (\angle SAT )}$

Όμως οι γωνίες $\angle STA , \, \angle SAT$ είναι σταθερές καθώς

$\angle STA = 180- \angle ATB$ και η τελευταία βαίνει στο σταθερό (μείζον) τόξο

του μικρού κύκλου.

Επίσης με χρήση της $\angle AST =$ σταθερό (βαίνει στο (μικρό) τόξο

του μεγάλου κύκλου) είναι $\angle SAT = \angle ATB-\angle AST$ ίσον διαφορά σταθερών.

#3

Αν η

στην προέκτασή της προς το

τέμνει τον (O,r)

στο

θα είναι :

$\vartriangle AOK \approx \vartriangle BDS$ αφού $\widehat S = \widehat K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat D = \widehat O$ , έτσι θα έχουμε ταυτόχρονα:

: Αλλος λόγος_νέος_Karkar.png (22.93 KiB) Προβλήθηκε 527 φορές

$\left\{ \begin{gathered} SA \cdot SD = ST \cdot SB \hfill \\ \frac{{SB}}{{SD}} = \frac{{AK}}{{OK}} = \frac{R}{d} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\frac{{SA}}{{ST}} = \frac{R}{d}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 11, 2018 9:14 pm
Άλλος λόγος.png Δύο κύκλοι και , με , τέμνονται στα σημεία .

Σημείο κινείται στον "ανατολικότερα" της κοινής χορδής , ώστε η

να τέμνει τον σε σημείο . Δείξτε ότι ο λόγος $\dfrac{SA}{ST}$ παραμένει σταθερός .

Λόγω συμμετρίας των $\displaystyle A,B$ ως προς την $\displaystyle OK$ και σχέσης επίκεντρης –εγγεγραμμένης , οι μπλε γωνίες είναι ίσες όπως και οι πράσινες

Έτσι , $\displaystyle \vartriangle AOK \simeq \vartriangle SAT \Rightarrow \boxed{\frac{{SA}}{{ST}} = \frac{{AK}}{{OK}} = \frac{R}{d}}$

: a.l.png (26.22 KiB) Προβλήθηκε 524 φορές

Άλλος λόγος

Άλλος λόγος

Re: Άλλος λόγος

Re: Άλλος λόγος

Re: Άλλος λόγος

Μέλη σε σύνδεση