Σύγκριση αριθμών

Xriiiiistos · #1

Γεια σας, ποιος από τους 2 αριθμούς είναι μεγαλύτερος

$1234567809^{10^{11}+1}$

$9876543201^{9\cdot 10^{10}}$

#2

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 11, 2018 3:49 pm
Γεια σας, ποιος από τους 2 αριθμούς είναι μεγαλύτερος

$1234567809^{10^{11}+1}$

$9876543201^{9\cdot 10^{10}}$

Ενδιαφέρουσα άσκηση αλλά δεν νομίζω να κάνει για άσκηση Θεωρίας Αριθμών και μάλιστα σε επίπεδο Α.Ε.Ι. Πιο κοντά κάνει για άσκηση Αριθμητικής/Άλγεβρας σε επίπεδο Juniors.

Θα δείξω ακόμα καλύτερα ότι

$9876543201^{9\cdot 10^{10}} < 1234567809^{10^{11}} < 1234567809^{10^{11}+1}}$

Έχουμε

$9876543201^{9\cdot 10^{10}}= (9\cdot 1097393689)^{9\cdot 10^{10}}=$

$= 9^{9\cdot 10^{10}} \cdot 1097393689^{9\cdot 10^{10}} <( {10^{9})^{ 10^{10}} \cdot 1097393689^{9\cdot 10^{10}}$

$<1234567809^{ 10^{10}} \cdot 1234567809^{9\cdot 10^{10}}= 1234567809^{10^{11}}$

Xriiiiistos · #3

Καταλάθος δεν πρόσεξα ότι είναι σε Α.Ε.Ι.. Νομίζω πως η λύση μου έχει σχέση με την θεωρία αριθμών αλλά πριν την δημοσιεύσω θα ήθελα να γενικεύσω την άσκηση Έστω δεκαψήφιος ακέραιος πραγματικός αριθμός

και έστω δεκαψήφιος ακέραιος πραγματικός αριθμός

να αποδείξετε $X^{10^{11}+1}>Y^{9\cdot 10^{10}}$

#4

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 11, 2018 11:07 pm
Καταλάθος δεν πρόσεξα ότι είναι σε Α.Ε.Ι.. Νομίζω πως η λύση μου έχει σχέση με την θεωρία αριθμών αλλά πριν την δημοσιεύσω θα ήθελα να γενικεύσω την άσκηση Έστω δεκαψήφιος ακέραιος πραγματικός αριθμός και έστω δεκαψήφιος ακέραιος πραγματικός αριθμός να αποδείξετε $X^{10^{11}+1}>Y^{9\cdot 10^{10}}$

H λύση μου γενικεύεται ώστε να περιλάβει και αυτή την περίπτωση. Μάλιστα, πάλι ισχυροποιείται το αποτέλεσμα:

$Y^{9\cdot 10^{10}} < (10X)^{9\cdot 10^{10}} = (10^{9})^{10^{10}} \cdot X^{9\cdot 10^{10}} \le X^{10^{10}} \cdot X^{9\cdot 10^{10}} = X^{10^{11}}$

(το δεξί μέλος είναι βέβαια $<X^{10^{11}+1}$ )

Xriiiiistos · #5

ΟΚ η δικιά μου λύση είναι η εξής, έστω μεταβλητός ακέραιος

με σταθερό πλήθος ψηφίων

υψωμένο στον σταθερό ακέραιο

o μικρότερος αριθμός με

πλήθος ψηφίων είναι ο $10^{A-1}$ άρα Ο

έχει ελάχιστη τιμή $(10^{A-1})^{k}=10^{Ak-k}$ με Ak-k+1

ψηφία. Επείσης ο ελάχιστος αριθμός με A+1

πλήθος ψηφίων είναι ο $10^{A}$ . Αν τον υψώσουμε στον

έχουμε τον αριθμο $(10^{A})^{k}=10^{Ak}$ με Ak+1

πλήθος ψηφίων οπότε προφανώς ο

έχει λιγότερα από Ak+1

ψηφία, με μέγιστο ααριθμό ψηφίων

. Πέρνοντας τους δύο αριθμούς βλέπουμε πως ο $X^{10^{11}+1}$ με 10 ψηφία το

και υψωμένο στο $10^{11}+1$ έχει τουλάχιστον $Ak-k+1=10(10^{11}+1)-10^{11}-1+1=9\cdot 10^{11}+10$ ψηφία ομοίως ο $Y^{9\cdot 10^{10}}$ έχει μέγιστο πλήθος ψηφίων $Ak=10\cdot 9\cdot 10^{10}=9\cdot10^{11}$ . Αφού ο $X^{10^{11}+1}$ έχει πάντα περισσότερα ψηφία είναι μεγαλύτερος

#6

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 11, 2018 11:07 pm
Νομίζω πως η λύση μου έχει σχέση με την θεωρία αριθμών

Χρήστο, δεν βλέπω σχέση με Θεωρία Αριθμών στην λύση σου. Το μόνο που χρειάζεται είναι η γραφή των αριθμών
στο δεκαδικό σύστημα, πράγμα πολύ απλό (γνωστό π.χ. από το Δημοτικό) για να θεωρηθεί Θεωρία Αριθμών

#7

Ας το δούμε λίγο αλλιώς μια και κάνει κάπως πιο ορατή την αιτία της ανισότητας:

Αν X, Y

δεκαψήφιοι, τότε ισχύει βέβαια $10^9 \le Y, \, X < 10^{10}$ . Οπότε για οποιοδήποτε φυσικό

έχουμε

$X^{9m} < (10^{10})^{9m} = (10^{9})^{10m} \le Y^{10m}$ . Τελειώσαμε.

Γενικότερα, αν οι X,Y

έχουν από

ψηφία, τότε $\boxed {X^{(n-1)m} < Y^{nm}}$

Σύγκριση αριθμών

Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Μέλη σε σύνδεση