Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
-
- Δημοσιεύσεις: 28
- Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2016 9:41 am
Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Αγαπητές/τοί φίλες/οι
Στο θέμα αυτό θα αναρτηθούν (αμέσως μόλις δημοσιευθούν στη σελίδα του Υπουργείου) και, αποκλειστικά, θα λυθούν τα θέματα των Μαθηματικών προσανατολισμού 2018 των Ημερησίων ΓΕΛ. Επομένως σχολιασμοί-κριτική επί της δυσκολίας κ.λ.π. των θεμάτων θα απομακρύνονται από αυτήν την συζήτηση. Μπορούν να γίνουν στο Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2018
edit: Προστέθηκαν τα θέματα.
Στο θέμα αυτό θα αναρτηθούν (αμέσως μόλις δημοσιευθούν στη σελίδα του Υπουργείου) και, αποκλειστικά, θα λυθούν τα θέματα των Μαθηματικών προσανατολισμού 2018 των Ημερησίων ΓΕΛ. Επομένως σχολιασμοί-κριτική επί της δυσκολίας κ.λ.π. των θεμάτων θα απομακρύνονται από αυτήν την συζήτηση. Μπορούν να γίνουν στο Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2018
edit: Προστέθηκαν τα θέματα.
τελευταία επεξεργασία από Επιτροπή Θεμάτων 2023 σε Δευ Ιουν 10, 2019 6:15 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
ανεβάζω τα θέματα σε .docx
- Συνημμένα
-
- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2018.docx
- (73.62 KiB) Μεταφορτώθηκε 681 φορές
Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2937
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Δ1. Η συνάρτηση με και είναι ορισμένη και συνεχής στο ως διαφορά των συνεχών συναρτήσεων με τύπους (συνεχής ως σύνθεση των συνεχών -γινόμενο εκθετικής με σταθερά- και της -πολυωνυμική) και (συνεχής ως πολυωνυμική).
Επίσης η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο ως διαφορά των παραγωγίσιμων συναρτήσεων με τύπους (παραγωγίσιμη ως σύνθεση των παραγωγίσιμων -γινόμενο εκθετικής με σταθερά- και της -πολυωνυμική) και (παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική) με .
Επίσης η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ως διαφορά των παραγωγίσιμων συναρτήσεων με τύπους (παραγωγίσιμη ως σύνθεση των παραγωγίσιμων -γινόμενο εκθετικής με σταθερά- και της -πολυωνυμική) και (παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική) με .
Τότε:
,
και
,
δηλαδή η παρουσιάζει μοναδικό σημείο καμπής το δηλαδή το .
Επίσης η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο ως διαφορά των παραγωγίσιμων συναρτήσεων με τύπους (παραγωγίσιμη ως σύνθεση των παραγωγίσιμων -γινόμενο εκθετικής με σταθερά- και της -πολυωνυμική) και (παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική) με .
Επίσης η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ως διαφορά των παραγωγίσιμων συναρτήσεων με τύπους (παραγωγίσιμη ως σύνθεση των παραγωγίσιμων -γινόμενο εκθετικής με σταθερά- και της -πολυωνυμική) και (παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική) με .
Τότε:
,
και
,
δηλαδή η παρουσιάζει μοναδικό σημείο καμπής το δηλαδή το .
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Γ1. Έστω η πλευρά του τετραγώνου, άρα η περίμετρός του, οπότε η περίμετρος του κύκλου ακτίνας με .
Τότε , οπότε .
Γ2. Η συνάρτηση που δίνει το ολικό εμβαδό είναι παραγωγίσιμη στο Π.Ο. της με
Από πίνακα μονοτονίας-ακροτάτων βρίσκουμε ότι έχει ολικό ελάχιστο για .
Τότε η πλευρά του τετραγώνου είναι και η διάμετρος του κύκλου είναι
Γ3. Παίρνουμε τη γενίκευση της συνάρτησης στο .
Είναι και .
Είναι .
Οπότε, αφού η είναι συνεχής, γν. φθίνουσα στο και γν. αύξουσα στο υπάρχει ένα μοναδικό στο τέτοιο ώστε .
edit: Διόρθωσα ένα τυπογραφικό λάθος.
Τότε , οπότε .
Γ2. Η συνάρτηση που δίνει το ολικό εμβαδό είναι παραγωγίσιμη στο Π.Ο. της με
Από πίνακα μονοτονίας-ακροτάτων βρίσκουμε ότι έχει ολικό ελάχιστο για .
Τότε η πλευρά του τετραγώνου είναι και η διάμετρος του κύκλου είναι
Γ3. Παίρνουμε τη γενίκευση της συνάρτησης στο .
Είναι και .
Είναι .
Οπότε, αφού η είναι συνεχής, γν. φθίνουσα στο και γν. αύξουσα στο υπάρχει ένα μοναδικό στο τέτοιο ώστε .
edit: Διόρθωσα ένα τυπογραφικό λάθος.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Δευ Ιουν 11, 2018 2:16 pm, έχει επεξεργασθεί 5 φορές συνολικά.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Για το Δ4: ευθεία λύση (χωρίς χρήση των προηγηθέντων μερών) από την γνωστή (ή έστω εύκολα αποδεικνυόμενη) ανισότητα , αφού προηγηθεί ακριβής υπολογισμός του ολοκληρώματος : αρκεί να χρησιμοποιηθεί η προφανής αντικατάσταση στο ολοκλήρωμα . (Η ίδια αντικατάσταση και για το πρώτο ολοκλήρωμα.)
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Έχουν αναρτηθεί οι λύσεις από τον κ. Ξένο...Καλή επιτυχία σε όλους τους διαγωνιζόμενους...
http://omathimatikos.gr/%CE%B4%CE%B5%CE ... %BF%CF%83/
http://omathimatikos.gr/%CE%B4%CE%B5%CE ... %BF%CF%83/
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Καλημέρα και καλή επιτυχία στους υποψήφιους.
Η (μάλλον "λογική") απάντηση στο (δύσκολο) Δ4.
Η είναι κυρτή στο διάστημα άρα βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της στο .Η ευθεία αυτή έχει εξίσωση .
Συνεπώς .
Edit: Μία ακόμη λύση,με όχι σχολικά εργαλεία,θα μπορούσε να προκύψει με αλλαγή μεταβλητής και χρήση της .
Η (μάλλον "λογική") απάντηση στο (δύσκολο) Δ4.
Η είναι κυρτή στο διάστημα άρα βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της στο .Η ευθεία αυτή έχει εξίσωση .
Συνεπώς .
Edit: Μία ακόμη λύση,με όχι σχολικά εργαλεία,θα μπορούσε να προκύψει με αλλαγή μεταβλητής και χρήση της .
τελευταία επεξεργασία από gavrilos σε Δευ Ιουν 11, 2018 11:39 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιώργος Γαβριλόπουλος
-
- Δημοσιεύσεις: 17
- Εγγραφή: Τετ Φεβ 29, 2012 8:36 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα-Τρίκαλα
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Το θέμα Γ στην πιο γενική του μορφή είναι η άσκηση 6 στη σελίδα 46 του βιβλίου της Γενικής.
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2937
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Δ2. Έχουμε ότι:
*,
* , αφού και και
* , αφού
,
(αφού τηρούνται οι προυποθέσεις του θεωρήματος De L' Hospital).
Από το Δ1 αποδείξαμε ότι η συνάρτηση είναι κοίλη στο και κυρτή στο ,
οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο και γνησίως αύξουσα στο .
Η είναι συνεχής (ως παραγωγίσιμη) και γνησίως φθίνουσα στο , οπότε .
Επίσης είναι συνεχής (ως παραγωγίσιμη) και γνησίως αύξουσα στο , οπότε .
Αφού ,
οπότε και γνησίως μονότονη σε κάθε ένα από τα ,
οπότε η έχει από μία ακριβώς ρίζα σε κάθε ένα από τα διαστήματα , έστω .
Συνεπώς:
**, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο ,
**, άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο ,
**, άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο ,
**, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο .
Επιπλέον η συνάρτηση είναι συνεχής στο , οπότε είναι γνησίως φθίνουσα στο .
Συνεπώς η συνάρτηση παρουσιάζει μοναδικό τοπικό μέγιστο για και μοναδικό τοπικό ελάχιστο για .
*,
* , αφού και και
* , αφού
,
(αφού τηρούνται οι προυποθέσεις του θεωρήματος De L' Hospital).
Από το Δ1 αποδείξαμε ότι η συνάρτηση είναι κοίλη στο και κυρτή στο ,
οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο και γνησίως αύξουσα στο .
Η είναι συνεχής (ως παραγωγίσιμη) και γνησίως φθίνουσα στο , οπότε .
Επίσης είναι συνεχής (ως παραγωγίσιμη) και γνησίως αύξουσα στο , οπότε .
Αφού ,
οπότε και γνησίως μονότονη σε κάθε ένα από τα ,
οπότε η έχει από μία ακριβώς ρίζα σε κάθε ένα από τα διαστήματα , έστω .
Συνεπώς:
**, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο ,
**, άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο ,
**, άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο ,
**, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο .
Επιπλέον η συνάρτηση είναι συνεχής στο , οπότε είναι γνησίως φθίνουσα στο .
Συνεπώς η συνάρτηση παρουσιάζει μοναδικό τοπικό μέγιστο για και μοναδικό τοπικό ελάχιστο για .
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Στο Δ3 πρέπει να αποδείξεις ότι για να πεις ότι η εξίσωση δεν έχει λύση. Και αποδεικνύεται αφού και γν. φθίνουσα στο με ρίζα της παραγώγου.
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Το Δ3 του κ. Ξένου είναι λάθος. Εφάρμοσε την μονοτονία του , για να γνωματεύσει περί ανισότητας για το . Πρέπει να δειχθεί ότι .mick7 έγραψε: ↑Δευ Ιουν 11, 2018 11:33 amΈχουν αναρτηθεί οι λύσεις από τον κ. Ξένο...Καλή επιτυχία σε όλους τους διαγωνιζόμενους...
http://omathimatikos.gr/%CE%B4%CE%B5%CE ... %BF%CF%83/
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Είναι -64χ και όχι -64π, οπότε είναι λάθος και όλος ο υπόλοιπος συλλογισμόςΓιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Δευ Ιουν 11, 2018 11:23 amΓ1. Έστω η πλευρά του τετραγώνου, οπότε η περίμετρος του κύκλου ακτίνας με .
Τότε , οπότε .
Γ2. Η συνάρτηση που δίνει το ολικό εμβαδό είναι παραγωγίσιμη στο Π.Ο. της με
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
θεμα Γ υπαρχει στα μαθηματικα γενικης παιδειας σελ.45
παλιοτερα το καναμε παντα, κλασσικο θεμα
τα δυο πρωτα ερωτηματα
παλιοτερα το καναμε παντα, κλασσικο θεμα
τα δυο πρωτα ερωτηματα
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Η πλευρά του τετραγώνου δεν είναι , αφού το είναι η περίμετρος του τετραγώνου;
Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Δευ Ιουν 11, 2018 11:23 amΓ1. Έστω η πλευρά του τετραγώνου, οπότε η περίμετρος του κύκλου ακτίνας με .
Know how to solve every problem that has been solved.
--- Richard Feynman
--- Richard Feynman
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Η συνάρτηση του Δ θεματος υπάρχει ακριβώς ίδια στο σχολικό βιβλιο σελ 278 ασκ2 β ομαδας
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Δ1. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με και
Η 2η παράγωγος της υπάρχει για κάθε , οπότε αναζητούμε τις τετμημένες των σημείων καμπής στις λύσεις τις
.
Είναι
Λόγω της μονοτονίας της εκθετικής συνάρτησης είναι για , και για .
Συνεπώς, η αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του .
Έτσι, η συνάρτηση έχει μοναδικό σημείο καμπής το
Δ2. Θεωρούμε τη συνάρτηση με για και παρατηρούμε ότι
η αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του .
Μάλιστα, η είναι γνησίως φθίνουσα για και γνησίως αύξουσα για Επιπλέον, είναι
, , και , όπου είναι τέτοιο ώστε
(η ύπαρξη του έπεται από το ότι )
Από Bolzano υπάρχουν και τέτοια ώστε
Από την μονοτονία της στα διαστήματα και έπεται η μοναδικότητα των και το ότι η έχει τοπικό μέγιστο στο και τοπικό ελάχιστο στο , αφού η θα διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα (θετικό), (αρνητικό) και (θετικό).
Δ3. Έστω ότι υπήρχε τέτοιο ώστε Από ΘΜΤ θα υπήρχε τέτοιο ώστε , δηλ. . Αφού , αναγκαστικά θα είναι , άτοπο, αφού
Δ4. Η εφαπτομένη της στο έχει εξίσωση
Αφού η εξίσωση γράφεται
Λόγω της κυρτότητας της στο είναι για κάθε και άρα
,
όπως θέλαμε.
****************************
Επεξεργασία 2:54μμ:
Αλλιώς για την ύπαρξη του : Η συνάρτηση με έχει κι άρα είναι αύξουσα στο με για .
Έτσι, είναι για κάθε , οπότε
για
****************************
Η 2η παράγωγος της υπάρχει για κάθε , οπότε αναζητούμε τις τετμημένες των σημείων καμπής στις λύσεις τις
.
Είναι
Λόγω της μονοτονίας της εκθετικής συνάρτησης είναι για , και για .
Συνεπώς, η αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του .
Έτσι, η συνάρτηση έχει μοναδικό σημείο καμπής το
Δ2. Θεωρούμε τη συνάρτηση με για και παρατηρούμε ότι
η αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του .
Μάλιστα, η είναι γνησίως φθίνουσα για και γνησίως αύξουσα για Επιπλέον, είναι
, , και , όπου είναι τέτοιο ώστε
(η ύπαρξη του έπεται από το ότι )
Από Bolzano υπάρχουν και τέτοια ώστε
Από την μονοτονία της στα διαστήματα και έπεται η μοναδικότητα των και το ότι η έχει τοπικό μέγιστο στο και τοπικό ελάχιστο στο , αφού η θα διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα (θετικό), (αρνητικό) και (θετικό).
Δ3. Έστω ότι υπήρχε τέτοιο ώστε Από ΘΜΤ θα υπήρχε τέτοιο ώστε , δηλ. . Αφού , αναγκαστικά θα είναι , άτοπο, αφού
Δ4. Η εφαπτομένη της στο έχει εξίσωση
Αφού η εξίσωση γράφεται
Λόγω της κυρτότητας της στο είναι για κάθε και άρα
,
όπως θέλαμε.
****************************
Επεξεργασία 2:54μμ:
Αλλιώς για την ύπαρξη του : Η συνάρτηση με έχει κι άρα είναι αύξουσα στο με για .
Έτσι, είναι για κάθε , οπότε
για
****************************
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Δευ Ιουν 11, 2018 3:27 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Το τυπογραφικό λάθος που ορθώς διόρθωσες, συνεπάγεται και διόρθωση των τιμών και στη συνέχειαΓιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Δευ Ιουν 11, 2018 11:23 am
Γ3. Παίρνουμε τη γενίκευση της συνάρτησης στο .
Είναι και .
Είναι .
Οπότε, αφού η είναι συνεχής, γν. φθίνουσα στο και γν. αύξουσα στο υπάρχει ένα μοναδικό στο τέτοιο ώστε .
edit: Διόρθωσα ένα τυπογραφικό λάθος.
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Διεγραψα την απαντηση στο Δ3 διοτι ηταν λανθασμενη.
τελευταία επεξεργασία από margk σε Δευ Ιουν 11, 2018 2:52 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
MARGK
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 679
- Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
- Τοποθεσία: Σπάρτη
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Το Γ3 απ' ευθείας
Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει μοναδική λύση στο διάστημα .
Είναι
.
Είναι .
Οι λύσεις της εξίσωσης είναι:
Όμως η αφού
Ακόμα αφού
και αφού
Πράγματι, το τριώνυμο είναι αρνητικό όταν και το ανήκει σ' αυτό το διάστημα.
Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει μοναδική λύση στο διάστημα .
Είναι
.
Είναι .
Οι λύσεις της εξίσωσης είναι:
Όμως η αφού
Ακόμα αφού
και αφού
Πράγματι, το τριώνυμο είναι αρνητικό όταν και το ανήκει σ' αυτό το διάστημα.
Στράτης Αντωνέας
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 12 επισκέπτες