Λόγος ζηλευτός !

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα , καλή Κυριακή .Μου άρεσε το θέμα που ακολουθεί, όχι μόνο για το αποτέλεσμα...
σπεύδω λοιπόν να το μοιραστώ μαζί σας.

: 27-5-18 Λόγος ζηλευ-τ-ός.PNG (6.92 KiB) Προβλήθηκε 913 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει μήκη πλευρών c=10..b=14..a=16

.

Η παράλληλη από το μέσον

της

προς την

, τέμνει τη διχοτόμο της $\widehat{A}$ στο

.

Αν

το μέσον της

τότε : Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left (GIM \right )}$ .
Ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

: Ζηλευτός λόγος.png (25.14 KiB) Προβλήθηκε 904 φορές

αύριο (λόγω ώρας ) η λύση ( αν δεν απαντηθεί)

$x = 2\,\,,\,\,y = 4\,\,,\,\,\vartriangle EBM$ ισόπλευρο . Ο λόγος άριστος !

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 27, 2018 1:47 am
Καλημέρα , καλή Κυριακή .Μου άρεσε το θέμα που ακολουθεί, όχι μόνο για το αποτέλεσμα...
σπεύδω λοιπόν να το μοιραστώ μαζί σας.
27-5-18 Λόγος ζηλευ-τ-ός.PNG
Το τρίγωνο έχει μήκη πλευρών .

Η παράλληλη από το μέσον της προς την , τέμνει τη διχοτόμο της $\widehat{A}$ στο .

Αν το μέσον της τότε : Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left (GIM \right )}$ .
Ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλημέρα!

Με νόμο συνημιτόνων βρίσκω ότι $\widehat B=60^0.$ Έστω

το ίχνος της διχοτόμου και

το σημείο τομής των MI, AB.

Τα τρίγωνα AEI, GIM

είναι ίσα. Αλλά, $\displaystyle \frac{{BD}}{{DM}} = \frac{{AB}}{{GM}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{20}}{3}}}{{\frac{4}{3}}} = \frac{{10}}{{GM}} \Leftrightarrow$ $\boxed{GM=AE=2}$

$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 16\sin {60^0} = (ABC) = 20r \Leftrightarrow 40\sqrt 3 = 20r \Leftrightarrow$ $\boxed{r = 2\sqrt 3 }$ και $\displaystyle (ABI) = 5r = 10\sqrt 3 = \frac{{(BAC)}}{4}$

$\displaystyle \frac{{(ABI)}}{{(GIM)}} = \frac{{(ABI)}}{{(AEI)}} = \frac{{10}}{2} \Leftrightarrow \frac{{(BAC)/4}}{{(AEI)}} = 5 \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{(ABI)}}{{(GIM)}} = 20}$ πράγματι ζηλευτός!

#4

Πρώτα-πρώτα , το τρίγωνο $\vartriangle ABC$ είναι οξυγώνιο και από Θ. συνημίτονου

έχω: $A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos B \Rightarrow \boxed{B = 60^\circ }$ .. Έστω

η διχοτόμος ,

το σημείο τομής της $MI\,\,$ με την $AB\,\,$ και

το μέσο της

. Θέτω

$MG = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MI = y$ . Από την προφανή ισότητα των τριγώνων $MGI\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EAI$

Προκύπτει , $AE = x\,\,$ .

Από το $\vartriangle EBM$ έχω : $IN// = \dfrac{{BE}}{2}\,\,(1)$ . Από το Θ. διχοτόμου στο $\vartriangle ABC$ έχω :

$BD = \dfrac{{ac}}{{b + c}} = \dfrac{{160}}{{24}} = \dfrac{{20}}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} ND = BD - BN = \frac{8}{3} \hfill \\ DM = BM - BD = \frac{4}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Ζηλευτός_λόγος_Μίτσιου.png (24.67 KiB) Προβλήθηκε 877 φορές

Άρα

με άμεση συνέπεια : IN = 2x

και έτσι η (1)

δίδει :

$2x = \dfrac{{10 - x}}{2} \Rightarrow \boxed{x = 2} \Rightarrow IN = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NM = \dfrac{{8 + 4}}{3} = 4$ δηλαδή το τα τρίγωνα :

$INM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EBM$ είναι ισόπλευρα πλευρών $4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,8$ αντίστοιχα .

$\dfrac{{(ABC)}}{{(MIG)}} = \dfrac{{10 \cdot 16}}{{2 \cdot 4}} = 20$ , γιατί $\widehat B + \widehat {IMG} = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 27, 2018 1:47 am
Καλημέρα , καλή Κυριακή .Μου άρεσε το θέμα που ακολουθεί, όχι μόνο για το αποτέλεσμα...
σπεύδω λοιπόν να το μοιραστώ μαζί σας.
27-5-18 Λόγος ζηλευ-τ-ός.PNG
Το τρίγωνο έχει μήκη πλευρών .

Η παράλληλη από το μέσον της προς την , τέμνει τη διχοτόμο της $\widehat{A}$ στο .

Αν το μέσον της τότε : Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left (GIM \right )}$ .
Ευχαριστώ, Γιώργος.

Έστω $\displaystyle \left( {ABC} \right) = E,\left( {IMG} \right) = S$

Από θ.διχοτόμου $\displaystyle BD = \frac{{20}}{3},DC = \frac{{28}}{3} \Rightarrow DM = \frac{4}{3}$ .Άρα $\displaystyle \frac{{BD}}{{DM}} = 5$

Είναι , $\displaystyle \left( {ABG} \right) = \left( {ABM} \right) = \frac{E}{2} \Rightarrow \left( {BIG} \right) = \frac{E}{4}$

$\displaystyle \frac{E}{S} = \frac{{4\left( {IBG} \right)}}{S} = 4\frac{{BD}}{{DM}} \Rightarrow \boxed{\frac{E}{S} = 20}$

[attachment=0]λόγος ζηλευτός.png[/attachment]

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλημέρα. Ευχαριστώ τους Νίκο , Γιώργο και Μιχάλη για τις ωραίες λύσεις
Μια ακόμη προσέγγιση

: 9-6-18 Λόγος ζηλευ-τ-ός.PNG (9.64 KiB) Προβλήθηκε 795 φορές

Με $GMN \parallel AB$ είναι το

μέσον της

άρα

ενώ ,ως άνω, GM=AE=2

.

Τότε BE=8=BM...AN=7=GN

. Στο ισόπλευρο BAM

έχουμε

, άρα

έγκεντρο του BAC

.

Στο ισοσκελές GAN

είναι

έτσι

διχοτόμος της $\widehat{ANG}$

συνεπώς το ABMN

περιγεγραμμένο στον έγκυκλο του ABC

.

Οπότε $\left ( GIM \right )=\dfrac{GM\cdot \rho }{2 }=\rho$ και $\left ( ABC \right )=\tau \cdot \rho$ , έπεται $\dfrac{\left ( ABC \right )}{\left ( GIM \right )}=\tau$ .

Οι τιμές τέθηκαν ώστε να προκύψει λόγος $\tau =20$ ( ζηλευ-τ-ός όπως .. λέει ο υπότιτλος της εικόνας)
ή καλύτερα άρισ-τ-ος , όπως γράφει πριν ο Νίκος !
Φιλικά Γιώργος.

Λόγος ζηλευτός !

Λόγος ζηλευτός !

Re: Λόγος ζηλευτός !

Re: Λόγος ζηλευτός !

Re: Λόγος ζηλευτός !

Re: Λόγος ζηλευτός !

Re: Λόγος ζηλευτός !

Μέλη σε σύνδεση