Ισότητα διανυσμάτων

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9906
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ισότητα διανυσμάτων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μάιος 16, 2018 8:47 pm

Ισότητα  διανυσμάτων.png
Ισότητα διανυσμάτων.png (9.18 KiB) Προβλήθηκε 289 φορές
Στο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC θεωρούμε τυχόν σημείο S .

Σχεδιάζουμε το ισόπλευρο ASP και εν συνεχεία το επίσης ισόπλευρο

και έξω από το \displaystyle ABC , τρίγωνο CPT . Δείξε ότι : \vec{ST}=\vec{BC}



Λέξεις Κλειδιά:
Βαγγέλης Κωστούλας
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Παρ Απρ 06, 2018 4:22 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ισότητα διανυσμάτων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Βαγγέλης Κωστούλας » Τετ Μάιος 16, 2018 11:06 pm

Συγκρίνουμε τα τρίγωνα BSA και ACP. Είναι BA=AC ( αφού το ABC είναι ισόπλευρο) και AS=AP (το ASP επίσης ισόπλευρο). Επίσης \widehat{BAS}=\widehat{BAC}-\widehat{SAC} και \widehat{CAP}=\widehat{SAP}-\widehat{SAC} και επειδή \widehat{BAC}=\widehat{SAP} προκύπτει από τις δύο τελευταίες σχέσεις ότι \widehat{BAS}=\widehat{CAP}. Δείξαμε ότι τα τρίγωνα BAS και CAP είναι ίσα. Άρα BS=CT(1)

Κάνουμε το ίδιο για τα τρίγωνα CAP και SPT. Αυτά έχουν: CP=PT (το CPT είναι ισόπλευρο), SP=AP (το SAP είναι ισόπλευρο) και \widehat{APC}=\widehat{APS}+\widehat{SPC}=60^{\circ}+\widehat{SPC}=\widehat{CPT}+\widehat{SPC}=\widehat{SPT}, δηλαδή και τα τρίγωνα CAP και SPT είναι ίσα. Άρα ST=AC\Leftrightarrow ST=BC(2).

Σύμφωνα με τις σχέσεις (1) και (2), το τετράπλευρο BSTC έχει τις απέναντι πλευρές του ίσες, συνεπώς είναι παραλληλόγραμμο. Αυτό σημαίνει ότι ST\parallel BC και αφού BS=CT, τα διανύσματα \vec{ST},\vec{BC} είναι ομόρροπα και έχουν ίδιο μέτρο, δηλαδή \vec{ST}=\vec{BC}.

Μιας και είμαι καινούριος, υπάρχει κάποιος τρόπος ώστε να γράφω πιο γρήγορα; Χρειάστηκε να ανοίξω το EqEditor πολλές φορές και αυτό με κούρασε αρκετά. Ευχαριστώ.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5913
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισότητα διανυσμάτων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μάιος 17, 2018 12:20 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Μάιος 16, 2018 8:47 pm
Ισότητα διανυσμάτων.pngΣτο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC θεωρούμε τυχόν σημείο S .

Σχεδιάζουμε το ισόπλευρο ASP και εν συνεχεία το επίσης ισόπλευρο

και έξω από το \displaystyle ABC , τρίγωνο CPT . Δείξε ότι : \vec{ST}=\vec{BC}

Με πρόλαβαν. κάτι παρεμφερές ( με σχήμα)
.

Ισότητα διανυσμάτων.png
Ισότητα διανυσμάτων.png (29.34 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές
Τα τρίγωνα , ABS\,\kappa \alpha \iota \,ACP έχουν: AB = AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AS = AP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat \omega  = {\widehat \omega _1} ως

συμπληρώματα 60^\circ της γωνίας \widehat {SAC} και άρα είναι ίσα .

Θα έχουν έτσι , \widehat \theta  = \widehat {{\theta _1}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BS = CP = CT αφού δε

\widehat {SBC} + \widehat {BCT} = 60^\circ  - \widehat \theta  + 120 + \widehat {{\theta _1}} = 180^\circ το τετράπλευρο BCTS είναι

παραλληλόγραμμο , θα είναι : \overrightarrow {ST}  = \overrightarrow {BC} .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης