Ισοσκελές από σκαληνό

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται τρίγωνο ABC

με $AB = 2,\,BC = 4,\,AC = 3$ . Φέρουμε τη διχοτόμο

και έστω

το μέσο της. Να δείξετε ότι το $\triangleleft ADM$ είναι ισοσκελές.

#2

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 14, 2018 7:23 am
Δίνεται τρίγωνο με $AB = 2,\,BC = 4,\,AC = 3$ . Φέρουμε τη διχοτόμο και έστω το μέσο της. Να δείξετε ότι το $\triangleleft ADM$ είναι ισοσκελές.

: Ισοσκελές Νάννου.png (27.47 KiB) Προβλήθηκε 951 φορές

Ας είναι

το μέσο του

και

η τομή των $AN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD$ . Θα ισχύουν :

$BA = BN = 2 \Rightarrow \boxed{BO \bot AN}\,\,\,(1)\,\,\, \Rightarrow MA = MN$ και $MN// = \dfrac{{DC}}{2}$ , οπότε : $\left\{ \begin{gathered} \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} \hfill \\ \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _3}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}}}\,\,\,(\,2)$ . Από τις $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ έχω AM = AD

.

#3

Χαιρετώ τους φίλους!

H

δεν παίζει κανένα ρόλο. Αρκεί να είναι BC=2AB.

: Ισοσκελές από σκαληνό.png (13.1 KiB) Προβλήθηκε 924 φορές

Πράγματι τα τρίγωνα ABM, CBD

είναι πάντοτε όμοια (δύο πλευρές ανάλογες με λόγο αναλογίας 1:2

και οι περιεχόμενες γωνίες ίσες λόγω διχοτόμου), οπότε οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες και το ADM

ισοσκελές.

#4

Αλλιώς...

: Ισοσκελές από σκαληνό.ΙΙ.png (13.95 KiB) Προβλήθηκε 913 φορές

Αν

το μέσο της

τότε τα τρίγωνα AMB, NDM

είναι ίσα (Π-Γ-Π), $A\widehat MD=A\widehat DM,$

ως παραπληρωματικές ίσων γωνιών και το ζητούμενο έπεται.

Ορέστης Λιγνός · #5

Από Θεώρημα Διχοτόμων στο $\vartriangle ABC$ , βρίσκουμε AD=1

(1)

Φέρνουμε $ME \parallel AC$ . Τότε, αφού $MB=MD \Rightarrow BE=EC=2, CD=2ME$ .

Αφού όμως $CD=2 \Rightarrow ME=1 \Rightarrow ME \parallel = AD$ , άρα MEDA

παραλληλόγραμμο, επομένως AM=DE

(2).

Με Ν. Συνημιτόνων στο $\vartriangle ABC$ , βρίσκουμε το $\cos \widehat{C}$ , και με Ν. Συνημιτόνων στο $\vartriangle CED$ , βρίσκουμε ED=1

(3).

Από (1), (2), (3), $1=DE=AM=AD \Rightarrow \vartriangle AMD$ ισοσκελές.

: B-ISOSKELES.png (23.68 KiB) Προβλήθηκε 909 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #6

Χαιρετώ την παρέα! Με χρήση του σχήματος

: 15-5 Ισοσκελές ..Μ.Ν.PNG (6.7 KiB) Προβλήθηκε 857 φορές

Είναι

και

διχοτόμος , άρα και DC=2AD

.

Τα τρίγωνα BCD,BED

προφανώς ίσα. Ετσι AM=DE/2=DC/2=AD

.
Φιλικά Γιώργος.

Ιστοσελίδα · #7

Ευχαριστώ τους φίλους για τις ωραίες λύσεις τους και ιδιαιτέρως το Γιώργο Βισβίκη για τη γενίκευση. Ακολουθεί μια παραλλαγή της λύσης του Γιώργου Μήτσιου!

: shape.png (17.55 KiB) Προβλήθηκε 826 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 14, 2018 7:23 am
Δίνεται τρίγωνο με $AB = 2,\,BC = 4,\,AC = 3$ . Φέρουμε τη διχοτόμο και έστω το μέσο της. Να δείξετε ότι το $\triangleleft ADM$ είναι ισοσκελές.

Μια λύση εκτός φακέλλου.

Από θ.διχοτόμου έχουμε $\displaystyle AD = 1,DC = 2$ κι έστω ότι η μεσοκάθετος της $\displaystyle BD$

τέμνει την $\displaystyle CA$ στο $\displaystyle E$ την $\displaystyle AB$ στο $\displaystyle G$ και την $\displaystyle BC$ στο $\displaystyle P$

Το τρίγωνο $\displaystyle GBP$ είναι ισοσκελές κι επειδή $\displaystyle \angle BGP = \angle EPC = y + \theta \Rightarrow \angle ABE = y$

Έτσι ,η $\displaystyle EB = x$ θα είναι εφαπτόμενη του περίκυκλου του τριγώνου $\displaystyle ABC$

Επομένως, $\displaystyle E{B^2} = EA \cdot EC \Rightarrow {x^2} = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) \Rightarrow \boxed{x = 2}$

Άρα $\displaystyle ED = 2 \Rightarrow A$ μέσον της $\displaystyle ED \Rightarrow \boxed{AM = AD = 1}$

: ισοσκελές.png (16.75 KiB) Προβλήθηκε 787 φορές

Ισοσκελές από σκαληνό

Ισοσκελές από σκαληνό

Re: Ισοσκελές από σκαληνό

Re: Ισοσκελές από σκαληνό

Re: Ισοσκελές από σκαληνό

Re: Ισοσκελές από σκαληνό

Re: Ισοσκελές από σκαληνό

Re: Ισοσκελές από σκαληνό

Re: Ισοσκελές από σκαληνό

Μέλη σε σύνδεση