Υπολογισμός γωνίας σε τετράπλευρο.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 2.png (9.61 KiB) Προβλήθηκε 541 φορές

Καλησπέρα.

Στο τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ του παραπάνω σχήματος, ισχύει ότι: $A\Delta =B\Gamma$ .

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

#2

: Υπολογισμός γωνίας σε τετράπλευρο.png (36.65 KiB) Προβλήθηκε 527 φορές

Αύριο τα λόγια .

Edit: ¨άρση απόκρυψης

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Παρ Απρ 27, 2018 10:30 pm
2.png
Καλησπέρα.

Στο τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ του παραπάνω σχήματος, ισχύει ότι: $A\Delta =B\Gamma$ .

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Έστω $\displaystyle O$ το κέντρο του περίκυκλου του $\displaystyle \vartriangle ABC$ και $\displaystyle OB$ η ακτίνα του

Από τη σχέση επίκεντρης- εγγεγραμμένης θα έχουμε $\displaystyle \angle BOC = {40^0}$ και

$\displaystyle \angle BOA = {20^0} \Rightarrow \angle COA = {60^0} \Rightarrow AC = AO = OC$

Τα τρίγωνα $\displaystyle ABC,AOD$ είναι ίσα αφού έχουν $\displaystyle AO = AC,AD = BC$

και $\displaystyle \angle OAD = \angle BCA = {10^0}$ άρα $\displaystyle \angle DOA = {20^0}$

Επομένως η $\displaystyle AO$ σχηματίζει με τις $\displaystyle OD,OB$ ίσες γωνίες $\displaystyle {20^0}$

άρα $\displaystyle O,D,B$ συνευθειακά και $\displaystyle \boxed{\theta = {{20}^0} + {{10}^0} = {{30}^0}}$

: γωνία.png (12.43 KiB) Προβλήθηκε 519 φορές

#4

Γράφω το κύκλο (B,BC)

που τέμνει την ευθεία

ακόμα στο

. Αβίαστα προκύπτει ότι $\vartriangle ABE \to (160^\circ ,10^\circ ,10^\circ )$ και συνεπώς αν φέρουμε τη κάθετη από το

: Υπολογισμός γωνίας σε τετράπλευρο_ok.png (40.84 KiB) Προβλήθηκε 487 φορές

στην

η προκύπτουσα χορδή

είναι μεσοκάθετη στην ακτίνα

. Αναγκαστικά τώρα : το τρίγωνο BPE

είναι ισόπλευρο και άρα :

$\widehat {PAD} = 180^\circ - (70^\circ + 20^\circ + 50^\circ ) = 30^\circ = \widehat {APB}$ , op;ote το μεν τετράπλευρο AEPD

είναι παραλληλόγραμμο , ενώ το τετράπλευρο APDB

είναι ισοσκελές τραπέζιο

και έτσι $\boxed{\widehat \theta = 30^\circ }$

Ορέστης Λιγνός · #5

Θα αποδείξουμε το ισοδύναμο πρόβλημα:

Αν τετράπλευρο ABCD

έχει $\widehat{BAC}=20^\circ, \, \widehat{CAD}=50^\circ, \, \widehat{BCA}=20^\circ$ και $\widehat{ADB}=30^\circ$ , τότε AD=BC

.

Απόδειξη

Φέρνουμε την $AL \perp BC$ , και έστω ότι τέμνει την εκ του

παραλλήλου προς την

, στο σημείο

.

Τότε, από το ορθογώνιο $\vartriangle LAD$ , είναι $\widehat{BAL}=\widehat{LAF}=10^\circ$ , και χρησιμοποιώντας την παραλληλία $BK \parallel AC$ , προκύπτουν οι γωνίες του σχήματος.

Τότε, $\widehat{KBC}=\widehat{KAC}=10^\circ \Rightarrow ABKC$ εγγράψιμο. Επίσης, $BK \parallel AC \Rightarrow ABKC$ τραπέζιο, και άρα το ABKC

είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Έτσι, BC=AK

(1).

Αφού όμως $\widehat{BAK}=\widehat{BKA}=10^\circ \Rightarrow AK=2AL$ (2).

Επίσης, το $\vartriangle LAD$ είναι ορθογώνιο, με $\widehat{ADL}=30^\circ$ , άρα AD=2AL

(3).

Από (1), (2), (3) είναι BC=AK=2AL=AD

, άρα

, ό.έ.δ.

: GONIA-FANIS.ggb.png (29.25 KiB) Προβλήθηκε 470 φορές

Υπολογισμός γωνίας σε τετράπλευρο.

Υπολογισμός γωνίας σε τετράπλευρο.

Re: Υπολογισμός γωνίας σε τετράπλευρο.

Re: Υπολογισμός γωνίας σε τετράπλευρο.

Re: Υπολογισμός γωνίας σε τετράπλευρο.

Re: Υπολογισμός γωνίας σε τετράπλευρο.

Μέλη σε σύνδεση