Vojtech Jarnik 2018/2 Category II
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Vojtech Jarnik 2018/2 Category II
Έστω θετικός ακέραιος και πραγματικοί αριθμοί ώστε
Να αποδειχθεί ότι
για κάθε πραγματικό , όπου με δηλώνουμε τον μοναδικό ακέραιο που ικανοποιεί την σχέση .
Να αποδειχθεί ότι
για κάθε πραγματικό , όπου με δηλώνουμε τον μοναδικό ακέραιο που ικανοποιεί την σχέση .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Vojtech Jarnik 2018/2 Category II
Παίρνουμε αρχικά την περίπτωση . Προφανώς, αν , το ζητούμενο ισχύει. Θεωρούμε .
Χρησιμοποιούμε τη γνωστή έννοια της κυριαρχίας, σύμφωνα με την οποία, από δύο αύξουσες πεπερασμένες ακολουθίες αριθμών με η κυριαρχεί επί της () αν και μόνο αν για κάθε .
Αποδεικνύεται εύκολα με επαγωγή ότι για κάθε και ισχύει .
Έτσι, με βάση το δεδομένο και το ζητούμενο, αρκεί να αποδείξουμε ότι η κυριαρχείται από την , δηλαδή ότι για κάθε .
Οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι η είναι αύξουσα, δηλαδή .
Με λίγη άλγεβρα διαπιστώνουμε ότι , που είναι άμεση συνέπεια της ιδιότητας και το ζητούμενο αποδείχθηκε.
Παρατηρούμε ότι η αντίστοιχη ακολουθία με ceiling αντί για floor είναι φθίνουσα (από την ιδιότητα ) και έτσι . Οπότε, για την περίπτωση χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι και η ανισότητα μετατρέπεται στην που ισχύει.
Χρησιμοποιούμε τη γνωστή έννοια της κυριαρχίας, σύμφωνα με την οποία, από δύο αύξουσες πεπερασμένες ακολουθίες αριθμών με η κυριαρχεί επί της () αν και μόνο αν για κάθε .
Αποδεικνύεται εύκολα με επαγωγή ότι για κάθε και ισχύει .
Έτσι, με βάση το δεδομένο και το ζητούμενο, αρκεί να αποδείξουμε ότι η κυριαρχείται από την , δηλαδή ότι για κάθε .
Οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι η είναι αύξουσα, δηλαδή .
Με λίγη άλγεβρα διαπιστώνουμε ότι , που είναι άμεση συνέπεια της ιδιότητας και το ζητούμενο αποδείχθηκε.
Παρατηρούμε ότι η αντίστοιχη ακολουθία με ceiling αντί για floor είναι φθίνουσα (από την ιδιότητα ) και έτσι . Οπότε, για την περίπτωση χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι και η ανισότητα μετατρέπεται στην που ισχύει.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες