Βρείτε το γινόμενο

#1

Για τους θετικούς αριθμούς x, y

και

ισχύει ότι $\sqrt {16 - {x^2}} + \sqrt {25 - {y^2}} + \sqrt {36 - {z^2}} = 12$

Αν το άθροισμα των x, y

και

είναι

, να βρείτε το γινόμενό τους.

#2

Επαναφορά με υπόδειξη: Δείτε το γεωμετρικά.

#3

Είναι $0<x\leq 4,$ $0<y\leq 5,$ $0<z\leq 6.$
Υπάρχουν οξείες γωνίες a,b,c

ώστε $x=4\sin a, y=5\sin b, z=6\sin c.$
Τότε $4\cos a+5\cos b+6\cos c=12$
και $4\sin a+5\sin b+6\sin c=9.$
Θεωρούμε τους μιγαδικούς $z_1=\cos a+i\sin a, z_2=\cos b+i\sin b, z_3=\cos c+i\sin c.$
Τότε
4z_1+5z_2+6z_3=12+9i

οπότε

αφού

Άρα

οπότε $x=\dfrac{12}{5}, y=3, z=\dfrac{18}{5}$ και $xyz=\dfrac{648}{25}.$

Ανδρέας Πούλος · #4

Μια γεωμετρική λύση.
Κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο ABC

με

,

.
Αυτή κατασκευή υπαγορεύεται από τα δεδομένα του προβλήματος και γίνεται κατανοητή στη συνέχεια.
Να παρατηρήσετε το συνημμένο σχήμα.
Ορίζω BC = x

και

, προκύπτει ότι $BE = \sqrt{16-x^{2}}$ .

Ορίζω DE = y

και

, προκύπτει ότι $FD = \sqrt{25-y^{2}}$ .

Ορίζω ZC = z

και

, προκύπτει ότι $IE = \sqrt{36-z^{2}}$ .
Στο συνημμένο σχήμα έχουμε παραλληλόγραμμα και όμοια τρίγωνα.

AB = 12 είναι το άθροισμα των τριών ριζών

BC = x + y + z = 9

AC = 4 + 5 + 6 = 15
Από τα όμοια τρίγωνα E

,

προκύπτει η αναλογία

$\frac{EB}{AB}=\frac{BD}{BC}=\frac{D}{AC}\Rightarrow \frac{\sqrt{16-x^{2}}}{12}= \frac{x}{9}=\frac{4}{15}\Rightarrow x=\frac{12}{5}$

Με όμοιο τρόπο, πάλι από τα όμοια τρίγωνα προκύπτει ότι y = 3

και

.

: x,y,zggb.png (15.74 KiB) Προβλήθηκε 1268 φορές

#5

Παύλο και Ανδρέα, σας ευχαριστώ για τις λύσεις. Η δική μου λύση είναι ίδια με του Ανδρέα.

S.E.Louridas · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Απρ 04, 2018 6:16 pm
Για τους θετικούς αριθμούς και ισχύει ότι $\sqrt {16 - {x^2}} + \sqrt {25 - {y^2}} + \sqrt {36 - {z^2}} = 12$
Αν το άθροισμα των και είναι , να βρείτε το γινόμενό τους.

Ας δούμε και την εκδοχή που ακολουθεί και που είναι απλή εφαρμογή της ταυτότητας Lagrange:

Για την λύση της άσκησης θεωρούμε $x = 4a,\;y = 5b,\;z = 6c$ οπότε παίρνουμε 4a + 5b + 6c = 9

και $4\sqrt {1 - {a^2}} + 5\sqrt {1 - {b^2}} + 6\sqrt {1 - {c^2}} = 12.$

Αν υψώσουμε στο τετράγωνο τις σχέσεις αυτές έχουμε: ${\left( {\underbrace {a + ... + a}_{4 - times} + \underbrace {b + ... + b}_{5 - times} + \underbrace {c + ... + c}_{6 - times}} \right)^2} = 81$ και ${\left( {\underbrace {\sqrt {1 - {a^2}} + ... + \sqrt {1 - {a^2}} }_{4 - times} + \underbrace {\sqrt {1 - {b^2}} + ... + \sqrt {1 - {b^2}} }_{5 - times} + \underbrace {\sqrt {1 - {c^2}} + ... + \sqrt {1 - {c^2}} }_{6 - times}} \right)^2} = 144.$

Αν τώρα θεωρήσουμε την ανάπτυξη των πρώτων μελών κατά τη ταυτότητα Lagrange ${\left( {\underbrace {{x_1} + {x_2} + ...{ + _{15}}}_{15 - times}} \right)^2} = \left( {\underbrace {{1^2} + {1^2} + ... + {1^2}}_{15 - times}} \right)\left( {\underbrace {x_1^2 + x_2^2 + ... + x_{15}^2}_{15 - times}} \right) - K$ ,

με το

να είναι άθροισμα τετραγώνων και προσθέσουμε κατά μέλη, θα πάρουμε a = b = c

αφού θεωρούμε ως συντελεστές την μονάδα που εμφανίζεται

φορές επί το

μέσα λόγω των απλοποιήσεων κατά τη πρόσθεση που δίνει το $15\cdot 15=225$ και που επίσης το 225

προκύπτει από την πρόσθεση αυτή και στο δεύτερο μέλος. Έτσι για το άθροισμα των τετραγώνων $K={\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} + ... + {\left( {\sqrt {1 - {b^2}} - \sqrt {1 - {a^2}} } \right)^2}$ που προκύπτει έχουμε ${\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} + ... + {\left( {\sqrt {1 - {b^2}} - \sqrt {1 - {a^2}} } \right)^2} = 0.$
Eύκολα πλέον παίρνουμε $\displaystyle{ a=b=c=\frac {3}{5}}$ άρα και τις τιμές $x=\dfrac{12}{5}, y=3, z=\dfrac{18}{5}$ . Οι τιμές αυτές επαληθεύουν τις εξισώσεις. Τελικά παίρνουμε $\displaystyle{xyz=\frac{648}{25}.}$

(*) Υπενθυμίζουμε ότι η γενική μορφή της ταυτότητας του Lagrange είναι:
$\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} } \right)\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {b_i^2} } \right) - {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}{b_i}} } \right)^2} = {\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)^2} + {\left( {{a_1}{b_3} - {a_3}{b_1}} \right)^2} + ... +$ ${\left( {{a_1}{b_n} - {a_n}{b_1}} \right)^2} + {\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right)^2} + ... + {\left( {{a_2}{b_n} - {a_n}{b_2}} \right)^2} + ... + {\left( {{a_{n - 1}}{b_n} - {a_n}{b_{n - 1}}} \right)^2}.$

(**) Θεωρώ ότι θα επιλύεται και με θεώρηση κατάλληλων διανυσμάτων που τελικά βγαίνουν γραμμικώς εξαρτημένα έως ίσα, καθότι ήδη είδαμε την πανέμορφη λύση με μιγαδικούς του Παύλου.

S.E.Louridas · #7

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Τρί Απρ 17, 2018 12:06 am

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Απρ 04, 2018 6:16 pm
Για τους θετικούς αριθμούς και ισχύει ότι $\sqrt {16 - {x^2}} + \sqrt {25 - {y^2}} + \sqrt {36 - {z^2}} = 12$
Αν το άθροισμα των και είναι , να βρείτε το γινόμενό τους.
Ας δούμε και την εκδοχή που ακολουθεί και που είναι απλή εφαρμογή της ταυτότητας Lagrange:

Για την λύση της άσκησης θεωρούμε $x = 4a,\;y = 5b,\;z = 6c$ οπότε παίρνουμε και $4\sqrt {1 - {a^2}} + 5\sqrt {1 - {b^2}} + 6\sqrt {1 - {c^2}} = 12.$

Αν υψώσουμε στο τετράγωνο τις σχέσεις αυτές έχουμε: ${\left( {\underbrace {a + ... + a}_{4 - times} + \underbrace {b + ... + b}_{5 - times} + \underbrace {c + ... + c}_{6 - times}} \right)^2} = 81$ και ${\left( {\underbrace {\sqrt {1 - {a^2}} + ... + \sqrt {1 - {a^2}} }_{4 - times} + \underbrace {\sqrt {1 - {b^2}} + ... + \sqrt {1 - {b^2}} }_{5 - times} + \underbrace {\sqrt {1 - {c^2}} + ... + \sqrt {1 - {c^2}} }_{6 - times}} \right)^2} = 144.$

Αν τώρα θεωρήσουμε την ανάπτυξη των πρώτων μελών κατά τη ταυτότητα Lagrange ${\left( {\underbrace {{x_1} + {x_2} + ...{ + _{15}}}_{15 - times}} \right)^2} = \left( {\underbrace {{1^2} + {1^2} + ... + {1^2}}_{15 - times}} \right)\left( {\underbrace {x_1^2 + x_2^2 + ... + x_{15}^2}_{15 - times}} \right) - K$ ,

με το να είναι άθροισμα τετραγώνων και προσθέσουμε κατά μέλη, θα πάρουμε αφού θεωρούμε ως συντελεστές την μονάδα που εμφανίζεται φορές επί το μέσα λόγω των απλοποιήσεων κατά τη πρόσθεση που δίνει το $15\cdot 15=225$ και που επίσης το προκύπτει από την πρόσθεση αυτή και στο δεύτερο μέλος. Έτσι για το άθροισμα των τετραγώνων $K={\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} + ... + {\left( {\sqrt {1 - {b^2}} - \sqrt {1 - {a^2}} } \right)^2}$ που προκύπτει έχουμε ${\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} + ... + {\left( {\sqrt {1 - {b^2}} - \sqrt {1 - {a^2}} } \right)^2} = 0.$
Eύκολα πλέον παίρνουμε $\displaystyle{ a=b=c=\frac {3}{5}}$ άρα και τις τιμές $x=\dfrac{12}{5}, y=3, z=\dfrac{18}{5}$ . Οι τιμές αυτές επαληθεύουν τις εξισώσεις. Τελικά παίρνουμε $\displaystyle{xyz=\frac{648}{25}.}$

(*) Υπενθυμίζουμε ότι η γενική μορφή της ταυτότητας του Lagrange είναι:
$\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} } \right)\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {b_i^2} } \right) - {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}{b_i}} } \right)^2} = {\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)^2} + {\left( {{a_1}{b_3} - {a_3}{b_1}} \right)^2} + ... +$ ${\left( {{a_1}{b_n} - {a_n}{b_1}} \right)^2} + {\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right)^2} + ... + {\left( {{a_2}{b_n} - {a_n}{b_2}} \right)^2} + ... + {\left( {{a_{n - 1}}{b_n} - {a_n}{b_{n - 1}}} \right)^2}.$

(**) Θεωρώ ότι θα επιλύεται και με θεώρηση κατάλληλων διανυσμάτων που τελικά βγαίνουν γραμμικώς εξαρτημένα έως ίσα, καθότι ήδη είδαμε την πανέμορφη λύση με μιγαδικούς του Παύλου.

(**) Πράγματι έχουμε και τη διαπραγμάτευση που ακολουθεί:

$\overrightarrow a = \left( {\sqrt {16 - {x^2}} ,\;x} \right),\;\overrightarrow b = \left( {\sqrt {25 - {y^2}} ,\;y} \right),\;\overrightarrow c = \left( {\sqrt {36 - {z^2}} ,\;z} \right) \Rightarrow$ $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right| = \sqrt {{{12}^2} + {9^2}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right| = 15=\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow c } \right|$ , που σημαίνει ότι θα υπάρχουν θετικοί $v,\;t$ τέτοιοι που $\displaystyle{\overrightarrow b = v\,\overrightarrow a}$ και $\displaystyle{\overrightarrow c = t\,\overrightarrow a \;.}$

Άρα παίρνουμε $\displaystyle{y = vx}}$ και $\displaystyle{\sqrt {25 - {v^2}{x^2}} = v\sqrt {16 - {x^2}} ,}$ οπότε $v = \frac{5}{4}.$
Όμοια έχουμε $z = tx\,$ και $\displaystyle{\kappa \alpha \iota \;\sqrt {36 - {t^2}{x^2}} = t\sqrt {16 - {x^2}} ,$ οπότε $t = \frac{6}{4}.$ Έτσι οδηγούμαστε στις $\displaystyle{y = \frac{{5x}}{4}\;\kappa \alpha \iota \;z = \frac{{6x}}{4}}$ άρα $\displaystyle{x + \frac{{5x}}{4} + \frac{{6x}}{4} = 9 \Leftrightarrow x = \frac{{12}}{5},}$ από όπου προκύπτoυν οι $\displaystyle{y = 3}$ και $\displaystyle{z = \frac{{18}}{5},}}$ τιμές που επαληθεύουν.

Βρείτε το γινόμενο

Βρείτε το γινόμενο

Re: Βρείτε το γινόμενο

Re: Βρείτε το γινόμενο

Re: Βρείτε το γινόμενο

Re: Βρείτε το γινόμενο

Re: Βρείτε το γινόμενο

Re: Βρείτε το γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση