Ραντεβού στον περίκυκλο

KARKAR · #1

: Ραντεβού στον κύκλο.png (16.87 KiB) Προβλήθηκε 787 φορές

Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με AB<AC

, ο κύκλος (A,AB)

τέμνει την

στο

και

τον περίκυκλο του τριγώνου στο

. Δείξτε ότι η ευθεία

και η διχοτόμος της $\hat{A}$

τέμνονται πάνω στον περίκυκλο του τριγώνου .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 15, 2018 10:00 pm
Ραντεβού στον κύκλο.pngΣε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με , ο κύκλος τέμνει την στο και

τον περίκυκλο του τριγώνου στο . Δείξτε ότι η ευθεία και η διχοτόμος της $\hat{A}$

τέμνονται πάνω στον περίκυκλο του τριγώνου .

Είναι $\displaystyle AS \bot BP$ και $\displaystyle FP \bot BP \Rightarrow FP//AS \Rightarrow x = y$ $\displaystyle \Rightarrow ATSB$ εγγράψιμο

: ρ.σ.π.png (23.72 KiB) Προβλήθηκε 764 φορές

#3

Η διχοτόμος της γωνίας

του τριγώνου ABC

ως γνωστό διέρχεται από το νότιο πόλο , έστω

, του κύκλου (A,B,C)

.

Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι η

είναι φορέας της διχοτόμου του τριγώνου TBC

.

Ας είναι

το κέντρο του κύκλου (A,B,C)

και

το σημείο τομής της

με τον κύκλο (A,AC)

.

Τα τρίγωνα $OBA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CBE$ είναι ισογώνια γιατί η εγγεγραμμένη γωνία είναι το μισό της αντίστοιχης επικέντρου .

Συνεπώς το τρίγωνο CEB

είναι ισοσκελές με κορυφή το

και η διχοτόμος της

γωνίας της κορυφής αυτής είναι μεσοκάθετός στη βάση του

με άμεση συνέπεια

PB = PE

.

: Ραντεβού στο περίκυκλο_2.png (37.37 KiB) Προβλήθηκε 725 φορές

Μετά απ’ αυτά : $\left\{ \begin{gathered} \widehat \theta = \widehat \omega \hfill \\ \widehat \phi = \widehat \xi \hfill \\ \widehat \xi = \widehat \omega \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \widehat \theta = \widehat \phi$ και άρα η

θα διέρχεται από το νότιο πόλο

.

#4

Έστω

το κοινό σημείο τομής της

με τον κύκλο (A,AB)

.

Οι χορδές $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT$ του κύκλου (A,B,C)

είναι ίσες άρα: $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ .

Ακόμα για τα αμβλυγώνια τρίγωνα $ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AEC$ είναι $AB = AE\,\,$ και η

κοινή.

Συνεπώς είτε είναι ίσα, είτε $\widehat {AEC} + \widehat {ABC} = 180^\circ$ ( άτοπο) , άρα είναι ίσα και έτσι

τα τόξα $PB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PE$ του κύκλου (A,AB)

να είναι ίσα .

: Ραντεβού στο περίκυκλο_ok.png (36.35 KiB) Προβλήθηκε 721 φορές

Δηλαδή το

είναι έγκεντρο του $\vartriangle TBC$ με άμεση συνέπεια οι διχοτόμοι των

γωνιών $\widehat {BAC}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {TBC}\,$ να συντρέχουν στο νότιο πόλο του κύκλου (A,B,C)

.

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 15, 2018 10:00 pm
Ραντεβού στον κύκλο.pngΣε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με , ο κύκλος τέμνει την στο και

τον περίκυκλο του τριγώνου στο . Δείξτε ότι η ευθεία και η διχοτόμος της $\hat{A}$

τέμνονται πάνω στον περίκυκλο του τριγώνου .

Η

τέμενει τον περίκυκλο του τριγώνου ABC

στο σημείο

Θα αποδείξω ότι η

είναι η διχοτόμος του τριγώνου ABC

Ισχύουν $\hat{ATP}=\hat{TAP}=\hat{\nu },\hat{ABP}=\hat{APB}=\hat{k },\hat{BAS}=\hat{\omega },\hat{SAC}=\hat{\phi },$
Στο τρίγωνο $TBP,(\kappa +\omega -\nu )+(\kappa +\nu )+\omega =180^{0}\Leftrightarrow \breve{BS}+\check{AB}+\check{AT}=180^{0}\Leftrightarrow TPOS=2R\Leftrightarrow \hat{\omega }=\hat{\phi }$

Γιάννης

Ραντεβού στον περίκυκλο

Ραντεβού στον περίκυκλο

Re: Ραντεβού στον περίκυκλο

Re: Ραντεβού στον περίκυκλο

Re: Ραντεβού στον περίκυκλο

Re: Ραντεβού στον περίκυκλο

Μέλη σε σύνδεση