Προσέγγιση τιμής ολοκληρώματος από σειρά

argiris95 · #1

Να βρεθεί το μερικό άθροισμα της σειράς $\sum_{n=0}^{∞}{(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!(4n+3)}$ το οποίο να προσεγγίζει την τιμή του ολοκληρώματος $\int_{0}^{1}{sin(x^2)}dx$ με ακρίβεια τριών δεκαδικών ψηφίων

Δεν έχω ξανά αναντιμετωπίσει τέτοιο πρόβλημα. Η σκέψη μου: $\frac{1}{(2n+1)!(4n+3)}<10^{-3}$ και μετά λύνεις ως προς

για να βρεις πόσους όρους χρειάζεσαι για τα τρία δεκαδικά.

#2

Οι προσεγγίσεις δεν είναι το forte μου, αλλά το θέμα παρουσιάζει ενδιαφέρον. Παραθέτω κάποιες πληροφορίες-ιδέες:

1) πρέπει να θεωρείται δεδομένο ότι

$\displaystyle\int_{0}^{1}\sin(x^2)\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,{\rm{FresnelS}}\Big({\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,}\Big)\approx 0,31026830172338110181\,.$

2) H σειρά είναι υπεργεωμετρική και το μερικό άθροισμα δεν έχει κλειστό τύπο. Επομένως χρειάζεται να επιλυθεί, ως προς

. η ανισότητα

$0,31026830172338110181-\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!(4k+3)}<10^{-3}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

argiris95 έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 15, 2018 8:46 pm
Να βρεθεί το μερικό άθροισμα της σειράς $\sum_{n=1}^{∞}{(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!(4n+3)}$ το οποίο να προσεγγίζει την τιμή του ολοκληρώματος $\int_{0}^{1}{sin(x^2)}dx$ με ακρίβεια τριών δεκαδικών ψηφίων

Δεν έχω ξανά αναντιμετωπίσει τέτοιο πρόβλημα. Η σκέψη μου: $\frac{1}{(2n+1)!(4n+3)}<10^{-3}$ και μετά λύνεις ως προς για να βρεις πόσους όρους χρειάζεσαι για τα τρία δεκαδικά.

Η σειρά που προκύπτει είναι η $\sum_{n=0}^{∞}{(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!(4n+3)}$
Η σκέψη σου είναι σωστή.Χωρίς δικαιολόγηση βέβαια.

Λάμπρος Κατσάπας · #4

argiris95 έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 15, 2018 8:46 pm
Να βρεθεί το μερικό άθροισμα της σειράς $\sum_{n=1}^{∞}{(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!(4n+3)}$ το οποίο να προσεγγίζει την τιμή του ολοκληρώματος $\int_{0}^{1}{sin(x^2)}dx$ με ακρίβεια τριών δεκαδικών ψηφίων

Δεν έχω ξανά αναντιμετωπίσει τέτοιο πρόβλημα. Η σκέψη μου: $\frac{1}{(2n+1)!(4n+3)}<10^{-3}$ και μετά λύνεις ως προς για να βρεις πόσους όρους χρειάζεσαι για τα τρία δεκαδικά.

Καταρχάς παρατήρησε ότι η σειρά σου έχει προκύψει από το ανάπτυγμα Taylor της sin(x^2)

και ολοκλήρωση αυτής

στο [0,1]

όρο προς όρο. Μετά ρίξε μια ματιά στο Θεώρημα Leibniz, στην απόδειξή του συγκεκριμένα, για σειρές με

εναλλάσσων πρόσημο. Θα πρέπει να είσαι σε θέση μετά να αποδείξεις ότι η απόλυτη τιμή του σφάλματος προσέγγισης της

σειράς από το μερικό άθροισμα $s_{n}$ είναι μικρότερη από $a_{n+1}.$

#5

argiris95 έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 15, 2018 8:46 pm
Να βρεθεί το μερικό άθροισμα της σειράς $\sum_{n={\color{red}1}}^{∞}{(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!(4n+3)}$ το οποίο να προσεγγίζει την τιμή του ολοκληρώματος $\int_{0}^{1}{sin(x^2)}dx$ με ακρίβεια τριών δεκαδικών ψηφίων..

μετά την απάντηση του Λάμπρου, κατάλαβα ότι στην εκφώνηση υπήρχε το τυπογραφικό λάθος n=1

αντί του ορθού n=0

. Γιατί η σειρά $\sum_{n=1}^{∞}{(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!(4n+3)}$ ΔΕΝ συγκλίνει στην τιμή του ολοκληρώματος. Για αυτό και η παρατήρηση στην προηγούμενη ανάρτησή μου.

argiris95 · #6

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 15, 2018 9:22 pm
Οι προσεγγίσεις δεν είναι το forte μου, αλλά το θέμα παρουσιάζει ενδιαφέρον. Παραθέτω κάποιες πληροφορίες-ιδέες:

1) πρέπει να θεωρείται δεδομένο ότι

$\displaystyle\int_{0}^{1}\sin(x^2)\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,{\rm{FresnelS}}\Big({\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,}\Big)\approx 0,31026830172338110181\,.$

2) H σειρά είναι υπεργεωμετρική και το μερικό άθροισμα δεν έχει κλειστό τύπο. Επομένως χρειάζεται να επιλυθεί, ως προς . η ανισότητα

$0,31026830172338110181-\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!(4k+3)}<10^{-3}$

Πως ακριβώς θα λύσουμε ως προς

αυτή την ανισότητα εφόσον δεν έχουμε κλειστό τύπο για το άθροισμα?

#7

argiris95 έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 15, 2018 10:20 pm

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 15, 2018 9:22 pm
Οι προσεγγίσεις δεν είναι το forte μου, αλλά το θέμα παρουσιάζει ενδιαφέρον. Παραθέτω κάποιες πληροφορίες-ιδέες:

1) πρέπει να θεωρείται δεδομένο ότι

$\displaystyle\int_{0}^{1}\sin(x^2)\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,{\rm{FresnelS}}\Big({\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,}\Big)\approx 0,31026830172338110181\,.$

2) H σειρά είναι υπεργεωμετρική και το μερικό άθροισμα δεν έχει κλειστό τύπο. Επομένως χρειάζεται να επιλυθεί, ως προς . η ανισότητα

$0,31026830172338110181-\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!(4k+3)}<10^{-3}$
Πως ακριβώς θα λύσουμε ως προς αυτή την ανισότητα εφόσον δεν έχουμε κλειστό τύπο για το άθροισμα?

Αργύρη,
ακριβώς αυτό! Δεν επιλύεται. Η παρατήρησή μου αφορά την σειρά $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!(4n+3)}$ η οποία ΔΕΝ συγκλίνει στο $\int_{0}^{1}\sin(x^2)\,dx$ (υπάρχει μια διαφορά 0,333333

)
Η σωστή σειρά είναι η $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!(4n+3)}$ , ( $n=0\ldots\infty$ ) και αυτά που προτείνουν ο Σταύρος και ο Λάμπρος, αφορούν την σειρά $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!(4n+3)}$ και είναι σωστά.

Προσέγγιση τιμής ολοκληρώματος από σειρά

Προσέγγιση τιμής ολοκληρώματος από σειρά

Re: Προσέγγιση τιμής ολοκληρώματος από σειρά

Re: Προσέγγιση τιμής ολοκληρώματος από σειρά

Re: Προσέγγιση τιμής ολοκληρώματος από σειρά

Re: Προσέγγιση τιμής ολοκληρώματος από σειρά

Re: Προσέγγιση τιμής ολοκληρώματος από σειρά

Re: Προσέγγιση τιμής ολοκληρώματος από σειρά

Μέλη σε σύνδεση