Oλοκλήρωμα

mick7 · #1

Να υπολογιστεί το

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cosx \cdot log(cosx)dx$

Tolaso J Kos · #2

Βρίσκω $\log 2-1$ ... αλλά έχω πολύ αργή πρόσβαση στο internet για να γράψω λύση. Μόλις επανέλθει η ταχύτητα θα γράψω απάντηση.

#3

mick7 έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 12, 2018 10:08 pm
Να υπολογιστεί το

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cosx \cdot log(cosx)dx$

Μπορούμε εύκολα και το ορισμένο ολοκλήρωμα: Με ολοκλήρωση κατά μέρη

$\displaystyle{\int \cos x \cdot \log(\cos x)dx = \sin x \cdot \log(\cos x) + \int \sin x \frac {\sin x}{\cos x} dx = \sin x \cdot \log(\cos x) + \int \frac {1- \cos ^2 x}{\cos x} dx}$

$\displaystyle{= \sin x \cdot \log(\cos x) + \int \sec x dx - \int \cos x dx = \sin x \cdot \log(\cos x) + \log (\sec x + \tan x ) - \sin x + c}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 12, 2018 11:11 pm

mick7 έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 12, 2018 10:08 pm
Να υπολογιστεί το

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cosx \cdot log(cosx)dx$
Μπορούμε εύκολα και το ορισμένο ολοκλήρωμα: Με ολοκλήρωση κατά μέρη

$\displaystyle{\int \cos x \cdot \log(\cos x)dx = \sin x \cdot \log(\cos x) + \int \sin x \frac {\sin x}{\cos x} dx = \sin x \cdot \log(\cos x) + \int \frac {1- \cos ^2 x}{\cos x} dx}$

$\displaystyle{= \sin x \cdot \log(\cos x) + \int \sec x dx - \int \cos x dx = \sin x \cdot \log(\cos x) + \log (\sec x + \tan x ) - \sin x + c}$

Επειδή η παράγουσα δεν ορίζεται στο $\frac{\pi }{2}$

για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος πρέπει να υπολογισθεί το όριο

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}^{-}}\sin x \cdot \log(\cos x) + \log (\sec x + \tan x )$

Ο υπολογισμός του παρουσιάζει ενδιαφέρον.

Tolaso J Kos · #5

mick7 έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 12, 2018 10:08 pm
Να υπολογιστεί το

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cosx \cdot log(cosx)dx$

Σήμερα που επανήλθε το DSN από το πάροχο και πλέον δε μου πέφτει το internet και μιας και το επιτρέπει ο φάκελος , ανεβάζω τη λύση μου. Δεν είναι τόσο απλή όσο του κ. Μιχάλη μιας και το πρώτο πράγμα που σκέφτηκα εχθές ήταν οι σειρές Fourier οπότε η λύση είναι στο κλίμα αυτό.

Έχουμε διαδοχικά:
$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{J} &= \int_{0}^{\pi/2} \cos x \log \cos x \, {\rm d}x \\ &= \int_{0}^{\pi/2} \cos x \left ( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\cos 2nx}{n} - \log 2\right ) \, {\rm d}x\\ &=-\log 2 \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, {\rm d}x + \int_{0}^{\pi/2} \cos x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \cos 2nx}{n} \, {\rm d}x \\ &= -\log 2 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \int_{0}^{\pi/2} \cos x \cos 2nx \, {\rm d}x\\ &=-\log 2 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\left ( 1-4n^2 \right )} \\ &= -\log 2 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\left ( 1-2n \right )\left ( 1+2n \right )} \\ &= -\log 2 - \left( 1 - 2 \log 2 \right) \\ &=\log 2 -1 \end{aligned}}$
Η σειρά $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\left ( 1-4n^2 \right )} = 1 - 2 \log 2 }$ αφήνεται ως άσκηση... Επιπλέον ισχύει ότι

$\displaystyle{ \int_{0}^{\pi/2} \cos x \cos 2nx \, {\rm d}x = \frac{(-1)^n}{1-4n^2}}$
το οποίο αφήνεται και αυτό ως άσκηση.

Ενημέρωση: Ένας τρόπος υπολογισμού του αθροίσματος ( με πραγματική ανάλυση ) και φυσικά όχι ο μόνος είναι ο ακόλουθος.

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{2n-1} - \frac1{2n+1}\right) &= \sum_{n=1 }^{\infty }\left(\frac{1}{2n} - \frac{1}{2n-1}\right) + \sum_{n= 1}^{\infty} \left( \frac{1}{2n} - \frac{1}{2n+1}\right) \\ &= \sum_{n= 1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} + \sum_{n= 2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n} \\ &= 2\sum_{n= 1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} + 1 \\ &= 1 - 2\log2 \end{aligned}}$
Το πιθανότερο είναι να είμαι εκτός πνεύματος ΑΣΕΠ αλλά δε πειράζει να δώσω μία άλλη νότα υπολογισμού με βαριά εργαλεία της Ανάλυσης.

Tolaso J Kos · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Απρ 13, 2018 10:17 am

Επειδή η παράγουσα δεν ορίζεται στο $\frac{\pi }{2}$

για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος πρέπει να υπολογισθεί το όριο

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}^{-}}\sin x \cdot \log(\cos x) + \log (\sec x + \tan x )$

Επαναφορά... !

Ενημέρωση: Τέθηκε και απαντήθηκε εδώ.

Oλοκλήρωμα

Oλοκλήρωμα

Re: Oλοκλήρωμα

Re: Oλοκλήρωμα

Re: Oλοκλήρωμα

Re: Oλοκλήρωμα

Re: Oλοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση