Διαιρετότητα για θετικούς ακεραίους
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
Διαιρετότητα για θετικούς ακεραίους
Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι για τους οποίους ο αριθμός είναι ακέραιος.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Άσκηση
Παναγιώτη καλησπέρα. Καλό θα είναι να βάζεις τις ασκήσεις στο φάκελο που ανήκουν (πχ, Αρχιμήδης Senior για την συγκεκριμένη) και όχι στο φάκελο "Γενικά Μηνύματα". Επίσης καλό θα ήταν να γίνεται μια καλύτερη επιλογή στον τίτλο και τις λέξεις κλειδιά ώστε να είναι εύκολη η αναζήτηση στο μέλλον.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Διαιρετότητα για θετικούς ακεραίους
Θα είναι και ο αριθμός ακέραιος, δηλαδή ο . Είναι , επομένως πρέπει και ο αριθμός να είναι ακέραιος.
Έστω .
Τότε (1) και ισχύει ότι είναι θετικοί ακέραιοι. Η διακρίνουσα είναι και πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο.
Έστω .
Αν τότε , άρα αφού το πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο παίρνουμε και αφού οι αριθμοί και είναι ισοϋπόλοιποι με το ισχύει ότι και , δηλαδή .
Αν τότε , άρα αφού το πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο παίρνουμε άρα και , όπου , ή και , δηλαδή .
Αν τώρα έχουμε πως που ισχύει.
Όμως ταυτόχρονα είναι , επομένως πρέπει , άτοπο αφού το αριστερό μέλος είναι περιττό ενώ το δεξί άρτιο.
Άρα για να έχει η (1) ακέραιες λύσεις ως προς πρέπει .
Αντικαθιστώντας στην (1) και διακρίνοντας τις περιπτώσεις παίρνουμε τα αντίστοιχα ζευγάρια .
Edit: Προσθήκη μιας τετριμμένης περίπτωσης
Έστω .
Τότε (1) και ισχύει ότι είναι θετικοί ακέραιοι. Η διακρίνουσα είναι και πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο.
Έστω .
Αν τότε , άρα αφού το πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο παίρνουμε και αφού οι αριθμοί και είναι ισοϋπόλοιποι με το ισχύει ότι και , δηλαδή .
Αν τότε , άρα αφού το πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο παίρνουμε άρα και , όπου , ή και , δηλαδή .
Αν τώρα έχουμε πως που ισχύει.
Όμως ταυτόχρονα είναι , επομένως πρέπει , άτοπο αφού το αριστερό μέλος είναι περιττό ενώ το δεξί άρτιο.
Άρα για να έχει η (1) ακέραιες λύσεις ως προς πρέπει .
Αντικαθιστώντας στην (1) και διακρίνοντας τις περιπτώσεις παίρνουμε τα αντίστοιχα ζευγάρια .
Edit: Προσθήκη μιας τετριμμένης περίπτωσης
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Τετ Μαρ 21, 2018 11:16 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Houston, we have a problem!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Διαιρετότητα για θετικούς ακεραίους
Γεια σου Ορέστη!Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Τετ Μαρ 21, 2018 11:08 pmΟ δολοφόνος επιστρέφει πάντα στον τόπο του εγκλήματος ! εδώ
Γεια σου Διονύση!
Ούτε που τη θυμόμουνα. Ευτυχώς η νέα λύση είναι λίγο διαφορετική από την προηγούμενη!!
Houston, we have a problem!
Re: Διαιρετότητα για θετικούς ακεραίους
Πρόκειται για το Πρόβλημα 4 της Δ.Μ.Ο του 1994.panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑Τετ Μαρ 21, 2018 5:44 pmΝα βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι για τους οποίους ο αριθμός είναι ακέραιος.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες